HW8-solu

Chencheng Zhang
October 14, 2025

判断题

假定以下所有矩阵都是方阵. 判断以下命题是否成立 (若不成立, 举出反例).

  1. 若 $AB$ 可逆, 则 $A$ 与 $B$ 均可逆.
  2. 若 $A$ 与 $B$ 可逆, 则 $\begin{pmatrix} A&C\\O&B \end{pmatrix}$ 可逆.
  3. 若 $A$ 可逆, 则 $A^T$ 可逆, 且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.
  4. 若 $A'$ 是 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到的矩阵, 假定 $A'$ 可逆, 则 $(A')^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到的矩阵.
  5. 给定矩阵 $M = \begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix}$. 若 $(AD-BC)$ 可逆, 则 $M$ 可逆.

以下依次作答.

  1. 正确. 因为 $AB$ 能通过行变换变为 $I$, 从而 $B$ 能通过行变换变为 $I$, 因此 $B$ 可逆. 从列变换的角度看, $A$ 可逆.
  2. 正确. 存在可逆行变换 $\begin{pmatrix} A&C\\O&B\end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} A&O\\O&B\end{pmatrix}$. 同时 $\begin{pmatrix} A&O\\O&B\end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1}&O\\O&B^{-1}\end{pmatrix}$.
  3. 正确. 回顾 $(AB)^T = B^TA^T$, 则 $(A^{-1})^TA^T = I = A^T(A^{-1})^T$. 因此 $(A^{-1})^T$ 是 $A^T$ 的逆矩阵.
  4. 正确. 记 $T$ 是 $(i, n+1-i)$ 处为 $1$, 其他位置为 $0$ 的矩阵. 特别地, $T^T = T^{-1} = T$. 此时, $AT$ 是将 $A$ 行倒序排列所得的矩阵, 那么 $A' = (AT)^T = TA^T$. 因此 $(A')^{-1} = (A^T)^{-1}T = (A^{-1})^T T$.
  5. 错误. $\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0 \end{pmatrix}$.

特别地, $M = \begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix}$ 可逆是 $(AD-BC)$ 可逆的不充分不必要条件. 另一方向的反例是 $\begin{pmatrix} 1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1 \end{pmatrix}$.

题二

对矩阵 $A$, 若存在唯一的矩阵 $X$ 使得 $AXA=A$, 则 $A$ 可逆. 此时, $X = A^{-1}$.

假定存在唯一的矩阵 $X$ 使得 $AXA=A$, 下证明 $A$ 可逆, 即行满秩且列满秩.

  1. 证明行满秩. 若不然, 则存在非零行向量 $y$ 使得 $yA=0$. 将 $y$ 加至 $X$ 的第一行, 记新矩阵 $X'$. 则 $AX'A = A$, 与 $X$ 的唯一性矛盾.
  2. 证明列满秩. 若不然, 则存在非零列向量 $z$ 使得 $Az=0$. 将 $z$ 加至 $X$ 的第一列, 记新矩阵 $X''$. 则 $AX''A = A$, 与 $X$ 的唯一性矛盾.

因此, $A$ 有双侧逆, 从而可逆. 显然 $X = A^{-1}$.

题三

(组合数). 对任意整数 $n \geq 0$ 与 $0 \leq k \leq n$, 定义组合数 $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. 约定 $0! = 1$.

假定矩阵是数域上的, $k$ 是域中的非零常数. 试计算以下矩阵的逆矩阵 (能否给一个简单的计算过程?) $$\begin{equation} M=\begin{pmatrix} k^{0} \cdot C_{0}^{0} & & & & & & \\[6pt] k^{1} \cdot C_{1}^{0} & k^{0} \cdot C_{1}^{1} & & & & & \\[6pt] k^{2} \cdot C_{2}^{0} & k^{1} \cdot C_{2}^{1} & k^{0} \cdot C_{2}^{2} & & & & \\[6pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \\[6pt] k^{n-2} \cdot C_{n-2}^{0} & k^{n-3} \cdot C_{n-2}^{1} & k^{n-4} \cdot C_{n-2}^{2} & \cdots & k^{0} \cdot C_{n-2}^{n-2} & & \\[6pt] k^{n-1} \cdot C_{n-1}^{0} & k^{n-2} \cdot C_{n-1}^{1} & k^{n-3} \cdot C_{n-1}^{2} & \cdots & k^{1} \cdot C_{n-1}^{n-2} & k^{0} \cdot C_{n-1}^{n-1} & \\[6pt] k^{n} \cdot C_{n}^{0} & k^{n-1} \cdot C_{n}^{1} & k^{n-2} \cdot C_{n}^{2} & \cdots & k^{2} \cdot C_{n}^{n-2} & k^{1} \cdot C_{n}^{n-1} & k^{0} \cdot C_{n}^{n} \end{pmatrix}. \end{equation}$$

对数域中的数 $x$, 定义列向量 $v_x = (1, x, x^2, \ldots , x^n)$. 特别地, 对任意不同的 $\{x_i\}_{i=0}^n$, 矩阵 $(v_{x_0} \ v_{x_1} \ \cdots v_{x_n})$ 是满秩的 (消元检验, 或直接使用 Vandermonde 行列式). 因此, $\mathbb F^{n+1}$ 中的所有向量都是 $\{v_{x_i}\}_{i=0}^n$ 的线性组合. 这定义了映射

$$\begin{equation} (M\cdot \ ): \ \mathbb F^{n+1} \to \mathbb F^{n+1}, \qquad \sum_{i=1}^d c_d\cdot v_{x_i} \mapsto M \cdot \sum_{i=1}^d c_d\cdot v_{x_i} = \sum_{i=1}^d c_d\cdot v_{k + x_i}. \end{equation}$$

容易找到其逆映射 $(M' \cdot \ )$, 使得 $v_x$ 映至 $v_{x-k}$. 将 $M$ 中所有 $k$ 换作 $-k$, 得 $M'$.

题四

自行思考本问题即可, 不必书面作答.

(逆矩阵的课堂求解方式). 给定方阵 $A$, 若 $(A \quad I)$ 能通过行变换得到 $(I \quad B)$, 则 $B$ 是 $A$ 的逆. 请思考, 以上过程说明了 $BA = I$, 为什么有 $AB = I$?

见上一次习题.

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