HW7-solu

Chencheng Zhang
October 9, 2025

判断题

假定所有矩阵都是数域上的. 我们使用 $ref(A)$ 表示 $A$ 的最简行阶梯形矩阵, $r(A)$ 表示矩阵的秩, $A^T$ 表示 $A$ 的矩阵转置. $O$ 是零矩阵, $I$ 是单位矩阵. $\binom AB$ 表示将矩阵 $A$ 在上方, 矩阵 $B$ 在下方进行垂直拼接得到的矩阵, $(A \quad B)$ 表示将矩阵 $A$ 在左方, 矩阵 $B$ 在右方进行水平拼接得到的矩阵.

(行 (列) 满秩). 给定 $m \times n$ 规格的矩阵 $A$. 若 $r(A) = m$, 则称 $A$ 为行满秩矩阵; 若 $r(A) = n$, 则称 $A$ 为列满秩矩阵.

特别地, 行满秩矩阵的行数不超过列数, 列满秩矩阵的列数不超过行数.

请判断以下命题是否正确. 若正确, 无需给出证明; 若错误, 请给出反例 (无需检验反例).

  1. $r(A) = r (A^TA)$, 假定 $A$ 为 $m \times n$ 规格的矩阵.
  2. $r(AB) = r(BA)$, 假定 $A$ 为 $m \times n$ 规格的矩阵, $B$ 为 $n \times m$ 规格的矩阵.
  3. $r(A \quad B) = r \binom AB$, 假定 $A, B$ 均为 $m \times n$ 规格的矩阵.
  4. $r(AB) = r(B)$, 当且仅当存在 $C$ 使得 $CAB = B$.
  5. 给定矩阵乘法的方程 $AX = B$, 方程有解当且仅当 $r(A\quad B) = r(A)$.
  6. 给定线性方程组 $A x = b$. 若系数矩阵 $A$ 的秩小于未知元个数, 则方程组有无穷多解.

以下给出答案.

  1. (错误). $A = \binom 1i$, $i$ 是虚数单位. 则 $r(A) = 1$, $r(A^TA) = 0$.
  2. (错误). $A = \binom 10$, $B = (0 \quad 1)$. 则 $r(AB) = 0$, $r(BA) = 1$.
  3. (错误). 假定 $(A\quad B)$ 是可逆二阶矩阵, $A$ 和 $B$ 是列向量, 则 $r(A\quad B) = 2$, $r\binom AB = 1$.
  4. (正确). 由 $AB$ 与 $B$ 的行秩相等, 则左乘 $A$ 不改变 $B$ 的行空间. 换言之, $B$ 可以通过可逆行变换变作 $A$. 既然可逆, 则存在 $C$ 使得 $CAB = B$. 反之, 比较行秩得 $r(B) \geq r(AB) \geq r(CAB) = r(B)$, 因此不等号取等.
  5. (正确). 由 $AX = B$ 有解, 当且仅当 $B$ 的所有列可以通过 $A$ 的各列表出, 即 $A$ 右乘某矩阵得 $B$.
  6. (错误). 也有可能无解, 如 $A = O$, $b \neq 0$.

初等变换的使用

请使用矩阵初等变换 (包括之前作业中的结论), 尽可能简短地证明如下问题.

若 $A$ 是 $n \times n$ 规格的矩阵, 存在 $B$ 使得 $AB = I$, 则有 $BA = I$.

$I$ 是最简列阶梯形, 从而 $I$ 是 $A$ 的最简列阶梯形. 由 HW4 的习题, 得行最简阶梯形 $ref(A) = I$. 因此, 存在 $C$ 使得 $CA = I$. 注意到 $B = (CA)B = C(AB) = C$, 从而 $BA = I$.

行满秩矩阵的一个例子

假定 $A$ 是 $m \times n$ 规格的矩阵 ($m \leq n$). 在 $A$ 的每一行中取定一个元素, 记 $a_{i, \sigma (i)}$ 是第 $i$ 行中取定的元素. 假定这些元素 $\{a_{i, \sigma (i)}\}_{1 \leq i \leq m}$ 满足如下性质.

  1. 若 $i \neq j$, 则 $\sigma (i) \neq \sigma (j)$. 换言之, 这些元素位于不同的 $m$ 列.
  2. 对任意 $a_{i, \sigma (i)}$, 总有 $|a_{i, \sigma (i)}| > \sum _{k \neq i} |a_{k, \sigma (i)}|$. 换言之, 元素的绝对值均大于所在列中其他元素绝对值之和.

请证明, 这个矩阵是行满秩的.

依照初等行变换, 存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P A = ref(A)$. 假定 $A$ 不是行满秩的, 则 $ref(A)$ 有零行, 故存在非零行向量 $v$ 使得 $v \cdot ref (A) = 0$. 由 $P$ 可逆, 则 $u = vP$ 也是非零行向量. 因此, $u A = 0$. 记 $u = (u_1, \ldots , u_m)$, 并假定 $u_k$ 的绝对值最大. 由 $uA = 0$, 可得

$$\begin{equation} u_k a_{k, \sigma (k)} = - \sum _{i \neq k} u_i a_{i, \sigma (k)}. \end{equation}$$

另一方面,

$$\begin{equation} |u_k a_{k, \sigma (k)}| > |u_k|\cdot \sum _{i \neq k} |a_{i, \sigma (k)}| = \sum _{i \neq k} |u_k a_{i, \sigma (k)}| \geq \sum _{i \neq k} |u_i a_{i, \sigma (k)}|, \end{equation}$$

矛盾.

作为推论, 我们有如下结论.

(可逆矩阵的充分条件). 给定 $n \times n$ 规格的矩阵 $A = (a_{ij})$. 若对任意 $1 \leq i \leq n$, 有

$$\begin{equation} |a_{ii}| > \sum _{j \neq i} |a_{ji}|, \end{equation}$$

则 $A$ 可逆.

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