HW8

假定以下所有矩阵都是方阵. 判断以下命题是否成立 (若不成立, 举出反例).

1. 若 $AB$ 可逆, 则 $A$ 与 $B$ 均可逆.
2. 若 $A$ 与 $B$ 可逆, 则 $\begin{pmatrix} A&C\\O&B \end{pmatrix}$ 可逆.
3. 若 $A$ 可逆, 则 $A^T$ 可逆, 且 $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.
4. 若 $A'$ 是 $A$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到的矩阵. 假定 $A'$ 可逆, 则 $(A')^{-1}$ 是 $A^{-1}$ 顺时针旋转 $90^\circ$ 得到的矩阵.
5. 给定矩阵 $M = \begin{pmatrix} A&B\\C&D \end{pmatrix}$. 若 $(AD-BC)$ 可逆, 则 $M$ 可逆.

对矩阵 $A$, 若存在唯一的矩阵 $X$ 使得 $AXA=A$, 则 $A$ 可逆. 此时, $X = A^{-1}$.

假定矩阵是数域上的, $k$ 是域中的非零常数. 试计算以下矩阵的逆矩阵 (能否给一个简单的计算过程?) $$\begin{equation} M=\begin{pmatrix} k^{0} \cdot C_{0}^{0} & & & & & & \\[6pt] k^{1} \cdot C_{1}^{0} & k^{0} \cdot C_{1}^{1} & & & & & \\[6pt] k^{2} \cdot C_{2}^{0} & k^{1} \cdot C_{2}^{1} & k^{0} \cdot C_{2}^{2} & & & & \\[6pt] \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & & \\[6pt] k^{n-2} \cdot C_{n-2}^{0} & k^{n-3} \cdot C_{n-2}^{1} & k^{n-4} \cdot C_{n-2}^{2} & \cdots & k^{0} \cdot C_{n-2}^{n-2} & & \\[6pt] k^{n-1} \cdot C_{n-1}^{0} & k^{n-2} \cdot C_{n-1}^{1} & k^{n-3} \cdot C_{n-1}^{2} & \cdots & k^{1} \cdot C_{n-1}^{n-2} & k^{0} \cdot C_{n-1}^{n-1} & \\[6pt] k^{n} \cdot C_{n}^{0} & k^{n-1} \cdot C_{n}^{1} & k^{n-2} \cdot C_{n}^{2} & \cdots & k^{2} \cdot C_{n}^{n-2} & k^{1} \cdot C_{n}^{n-1} & k^{0} \cdot C_{n}^{n} \end{pmatrix}. \end{equation}$$