HW9-solu

记 $R$ 是一个 $2025 \times 2024$ 的列满秩矩阵, 且任意 $2024$ 行线性无关. 此时 $RR^T$ 即为所求矩阵.

• 我们说明 $RR^T$ 为何即为所求. 注意到, 提取 $2025$ 行 (列) 的矩阵某 $2024$ 行 (列) 可以通过左 (右) 乘特定矩阵实现. 例如删去 $RR^T$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 列, 等价于计算矩阵 $P(RR^T)Q$, 即 $(PR)(R^TQ)$. 其中 $P$ 是将第 $i$ 行删去的提取矩阵, $Q$ 是将第 $j$ 列删去的提取矩阵. 依照假定, $PR$ 是行满秩矩阵, $R^TQ$ 是列满秩矩阵, 故 $(PR)(R^TQ)$ 可逆.
• 我们再说明 $R$ 如何构造. 记 $r_x$ 是行向量 $(1, x, x^2, \ldots, x^{2023})$. 取 $2025$ 个互不相同的数 $a_1, a_2, \ldots, a_{2025}$, 将 $\{r_1, \ldots, r_{2025}\}$ 从上到下地排列作 $R$. 依照此题中技巧, 矩阵 $R$ 的任意 $2024$ 行线性无关.

$I + xy^T$ 可逆当且仅当分块矩阵 $\begin{pmatrix} 1&0\\0&I + xy^T \end{pmatrix}$ 可逆. 考虑列变换, 也当且仅当分块矩阵 $\begin{pmatrix} 1&y^T\\0&I + xy^T \end{pmatrix}$ 可逆. 例行公事,

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} 1&y^T&1&0\\0&I + xy^T&0&I \end{pmatrix} \\[6pt] \xrightarrow{\text{第一行左乘 $-x$ 加至第二行}} \ &\begin{pmatrix} 1&y^T&1&0\\-x&I&-x&I \end{pmatrix}\\[6pt] \xrightarrow{\text{第二行左乘 $-y^T$ 加至第一行}} \ &\begin{pmatrix} 1+y^Tx&0&1+y^Tx&-y^T\\-x&I&-x&I \end{pmatrix}\\[6pt] \xrightarrow{\text{第一行左乘 $(1+y^Tx)^{-1}\cdot x$ 加至第二行}} \ &\begin{pmatrix} 1+y^Tx&0&1+y^Tx&-y^T\\0&I&0&I-(1+y^Tx)^{-1}\cdot xy^T \end{pmatrix}\\[6pt] \xrightarrow{\text{第一行数乘 $(1+y^Tx)^{-1}$}} \ &\begin{pmatrix} 1&0&1&-(1+y^Tx)^{-1} \cdot y^T\\0&I&0&I-(1+y^Tx)^{-1}\cdot xy^T \end{pmatrix} \end{aligned}$$

最后两步可行当且仅当 $1+y^Tx \neq 0$.

• 注意到 $I + xy^T$ 可逆的充要条件是 $\begin{pmatrix} 1&y^T\\0&I + xy^T \end{pmatrix}$ 可逆, 当且仅当经行初等变换所得的 $\begin{pmatrix} 1+y^Tx&0\\0&I \end{pmatrix}$ 满秩, 当且仅当 $1+y^Tx \neq 0$.

根据上一个 Lemma, $I + xy^T$ 的逆矩阵是 $I-(1+y^Tx)^{-1}\cdot xy^T$.