HW9
所有矩阵都是数域上的.
构造题
找一个 $2025 \times 2025$ 规格的矩阵 $A$, 满足以下条件:
- $A$ 不可逆.
- $A$ 删去任意 $1$ 行与任意 $1$ 列后, 得到的 $2024 \times 2024$ 矩阵均可逆.
提示: 把提取 $k$ 行 (列) 看作左乘 (右乘) 某特定矩阵.
思考题 给定常数 $1 < k < n$. 找一个 $n \times n$ 的矩阵 $A$, 使得
- 删去任意 $k$ 行与任意 $k$ 列后, 得到的 $(n-k) \times (n-k)$ 矩阵均不可逆;
- 删去任意 $k+1$ 行与任意 $k+1$ 列后, 得到的 $(n-k-1) \times (n-k-1)$ 矩阵均可逆.
计算题
(下一题的提示). 若 $\begin{pmatrix} A&B\\O&D \end{pmatrix}$ 有逆矩阵 $\begin{pmatrix} E&F\\G&H \end{pmatrix}$, 则 $H$ 与 $D$ 互为逆矩阵. 证明容易.
记 $x$ 与 $y$ 是 $n$ 阶列向量. 给出 $I + xy^T$ 可逆的充要条件, 并求其逆.
该讲义习题 2.
该讲义习题 6.
讲义中困难习题的答案见 PDF 内的链接. 基础习题解答见 Ebisumoto Minamomo 的解答.
注: 讲义 中的 $E_{i,j}$ 是指 $(i,j)$ 分量为 $1$, 其余分量为 $0$ 的矩阵.