外三角范畴的 $4 × 4$ 引理
证明
(双 deflation 拉回 ≈ Verdier 的 $4 × 4$ 公理). 给定外三角范畴中 $δ_{i} ∈ 𝔼 (C, A_i)$ 的实现, 则可补全以下四条 $𝔼$-三角的交换图:
中间行列恰是 $(y_i)_∗ δ_j$ 的实现.
选用辅助的 $𝔼$-三角 $\binom 11 ^∗ (δ _1 ⊕ δ _2)$, 定义作下图的上行:
使用 ET4, 重新构造 $𝔼 (C, A_2)$ 中某个扩张的实现, 见四个 $𝔼$-三角的交换图:
左侧是 $(p_2)_\ast\binom11^\ast(\delta_1\oplus\delta_2) = (1,1)_\ast\binom11^∗ (0 ⊕ δ _2) = δ _2$. 因此第一横行与题设的 $𝔰 (δ_2)$ 相差一个同构, 不妨设两者相等 (给 $M → B_2'$ 复合一个同构). 对称地, 构造
删去平凡的投影, 拼接下图即可: