Model Structures on Extriangulated Cateogory

ZCC
May 20, 2025

Preliminaries

See here (en chinois) for an preliminary introduction to extriangulated categories, including

the basic definition (ET’s), and terminologies:
- the additive realisation of an extension element $δ ∈ 𝔼 (Z,X)$ is a class $𝔰 (δ) ⊆ [Z,X]$;
- an $𝔼$-triangle, or a conflation for a certain $X → Y → Z$ belongs to some $𝔰 (δ)$ for some $δ ∈ 𝔼 (Z,X)$.
the homological long exact sequence:
- the exactness at the second $𝔼$-term is shown by ET4,
- for category with enough projectives, one can define syzygies and so-called derived $𝔼^i$’s ($i ≥ 2$), see Link1 and Link2 for grneray theory.
the diagram theorems, including
- trivial conflation (the split case, the term $\binom f x ∈ 𝐢𝐧𝐟$ for $f ∈ 𝐢𝐧𝐟$);
- the completion of $2 × 2$ diagrams;
- the $3 × 3$ lemma.

Cotorsion Theory

定义一些对象类的运算 (不要求是加法子范畴).

$\mathrm{Cone}(𝒳 , 𝒴 ) = \{Z ∣ \text{存在三角} \ X → Y → Z\}$;
$\mathrm{coCone}(𝒳 , 𝒴 ) = \{Z ∣ \text{存在三角} \ Z → X → Y\}$;
$𝒳 ∗ 𝒴 = \{E ∣ \text{存在三角} \ X → E → Y\}$.

(Cotorison pair). 称对象类 $(𝒰 , 𝒱)$ 是外三角范畴的 cotorsion pair, 若

$𝒰$ 与 $𝒱$ 是同构闭且直和项闭的加法全子范畴;
$𝔼 (𝒰 , 𝒱 ) = 0$;
任意对象 $X$ 可以嵌入 $𝔼$-三角 $X → V_C → U_C$;
任意对象 $Y$ 可以嵌入 $𝔼$-三角 $V^C → U^C → Y$.

此处定义的 cotorsion pair 自动是完备的, 对应正合范畴的特殊右 $𝒱$ 逼近与特殊左 $𝒰$ 逼近.

(证明). 若范畴有足够投射对象, 则以上定义的 3. 蕴含 4.; 若范畴有足够内对象, 则以上定义的 4. 蕴含 3..

(证明). 以上定义的 $𝒰$ 与 $𝒱$ 满足如下基本性质:

若使用 $⟂$ 表示 $𝔼$-垂直关系, 则 $𝒰 ^⟂ = 𝒱$, 且 $𝒰 = {}^⟂ 𝒱$.
$𝒰$ 与 $𝒱$ 关于形变收缩核封闭.
$𝒰$ 与 $𝒱$ 关于扩张 (运算 $∗$) 封闭.

(证明). 上述 $X → V_C$ 与 $U^C → X$ 在稳定范畴中具有函子性. 具体地, 记 $𝒥 := 𝒰 ∩ 𝒱$, 稳定范畴 $𝒞 / 𝒥$ 未必是外三角范畴, 但有如下结论.

对任意 $U ∈ 𝒰$ 与 $V ∈ 𝒱$, 稳定范畴中总有 $\underline {(U,V)} = 0$. 换言之, 任意 $f : U → V$ 通过某一 $M ∈ 𝒥$ 分解.
对任意 $C \xrightarrow {l_C} V_C → U_C$ 与 $V ∈ 𝒱$, 作用函子 $\underline {(-, V)}$ 后得到稳定范畴中的映射链: $$\begin{equation} 0 = \underline {(U_C, V)} → \underline {(V_C, V)} ≃ \underline {(C, V)}. \end{equation}$$ 中间的同构式诱导了左右伴随函子 $$\begin{equation} V_∙ : 𝒞 / 𝒥 ⇆ 𝒱 / 𝒥 : \text{inclu}. \end{equation}$$ 其单位是 $l_C : C → V_C$, 余单位是 $\mathrm{id}_{𝒱 / 𝒥}$.
对任意 $V^C → U^C \xrightarrow {r^C} C$ 与 $U ∈ 𝒰$, 作用函子 $\underline{(U, -)}$ 后得到稳定范畴中的映射链 $$\begin{equation} 0 = \underline{(U, V^C)} → \underline{(U, U^C)} ≃ \underline{(U, C)}. \end{equation}$$ 中间的同构式诱导了左右伴随函子 $$\begin{equation} \text{inclu} : 𝒰 / 𝒥 ⇆ 𝒞 / 𝒥 : U^∙ . \end{equation}$$ 其单位是 $\mathrm{id}_{𝒰 / 𝒥}$, 余单位是 $r^C: U^C → C$.

(Twin cotorsion pairs). 给定两个 cotorsion pair $(𝒮 , 𝒮 ^⟂ )$ 与 $(^⟂ 𝒱 , 𝒱)$. 考虑以下三个性质:

$𝔼 (𝒮 , 𝒱 ) = 0$;
$𝒮 ∩ 𝒮 ^⟂ = {}^⟂ 𝒱 ∩ 𝒱$;
$\mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒮) = \mathrm{coCone}(𝒱 , 𝒮)$.

称之

twin cotorsion pairs, 若满足 1.;
concentric twin cotorsion pairs, 若满足 1. 与 2.;
Hovey twin cotorsion pairs, 若满足 1., 2., 与 3..

条件 $\mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒮) = \mathrm{coCone}(𝒱 , 𝒮)$ 指向模型结构中的对象类 $𝒲$.

(证明). 实际上, Hovey twin cotorsion pairs 的条件只需要 1. 与 3., 即 2. 是多余的.

(Hovey twin cotorsion pairs 的标准记号). 使用 $(𝒮 , 𝒮 ^⟂ ; ^⟂ 𝒱 , 𝒱 )$ 表示 Hovey twin cotorsion pairs. 其中,

$(𝒮 , 𝒮 ^ ⟂ )$ 与 $(^⟂ 𝒱 , 𝒱 )$ 是两对 cotorsion pair, 满足 $𝔼 (𝒮 , 𝒱 ) = 0$;
$𝒥 := 𝒮 ∩ 𝒮 ^ ⟂ = ^⟂ 𝒱 ∩ 𝒱$;
$𝒩 := \mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒮) = \mathrm{coCone}(𝒱 , 𝒮)$.

以下等式由 ET4 (ET4’) 证明:

$\mathrm{Cone}(𝒳 , \mathrm{Cone}(𝒴 , 𝒵 )) = \mathrm{Cone}(𝒴 ∗ 𝒳 , 𝒵 )$;
- 特别地, $\mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒩) = 𝒩$.
$\mathrm{coCone}(\mathrm{coCone}(𝒳 ,𝒴 ), 𝒵 ) = \mathrm{coCone}(𝒳 , 𝒵 ∗ 𝒴 )$;
- 特别地, $\mathrm{coCone}(𝒩 , 𝒮 ) = 𝒩$.
$\mathrm{Cone}(𝒳 , \mathrm{coCone}(𝒴, 𝒵 )) = \mathrm{coCone}(\mathrm{Cone}(𝒳 , 𝒴 ), 𝒵 )$;
$𝒳 ∗ (𝒴 ∗ 𝒵 ) = (𝒳 ∗ 𝒴 )∗ 𝒵$;

以下不等式由双 inflation 推出 (双 deflation 拉回) 证明:

$\mathrm{coCone}(𝒳 ,𝒵 )∗ 𝒴 ⊆ \mathrm{coCone}(𝒳 ∗ 𝒴 , 𝒵 )⊇ \mathrm{coCone}(𝒴 ,\mathrm{Cone}(𝒳 ,𝒵 ))$;
- 特别地, $𝒩 ⊆ 𝒩 ∗ 𝒮 ⊆ \mathrm{coCone}(𝒱 ⊕ 𝒮 , 𝒮 ) ⊆ 𝒩$ 取等.
- 特别地, $𝒩 ∗ 𝒱 = 𝒩$.
$𝒴 ∗ \mathrm{Cone}(𝒳 , 𝒵 ) ⊆ \mathrm{Cone}(𝒳 , 𝒴 ∗ 𝒵 ) ⊇ \mathrm{Cone}(\mathrm{coCone}(𝒳 ,𝒵 ),𝒴 )$.
- 特别地, $𝒩 ⊆ 𝒱 ∗ 𝒩 ⊆ \mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒱 ⊕ 𝒮) ⊆ 𝒩$ 取等.
- 特别地, $𝒮 ∗ 𝒩 = 𝒩$.

以上, $𝔼 (𝒮 , 𝒱) = 0$, 故 $𝒱 ∗ 𝒮 = 𝒱 ⊕ 𝒮$.

特别地, $𝒮 , 𝒱 ⊆ 𝒩$, 因此 $𝒩$ 关于 $𝔼$-三角的二推三封闭. 因此是全子外三角范畴.

计算示例: $$\begin{aligned} 𝒩 ∗ 𝒩 & = 𝒩 ∗ \mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒮 ) ⊆ \mathrm{Cone}(𝒱 , 𝒩 ∗ 𝒮)\\ & = \mathrm{Cone}(𝒱 ,𝒩) = 𝒩. \end{aligned}$$