$Γ (A)$ 投射部分的态射
证明
对遗传代数,
- 不可分解投射模之间的态射要么为零, 要么是单的;
- 不可分解内射模之间的态射要么为零, 要么是满的;
- 不可分解投射模是 brick;
- 不可分解内射模是 brick.
假定 $A$ 是遗传代数, 等价定义表明投射模的子模投射, 内射模的商模内射. 依照对称性, 只看 1. 和 3..
(1. 的证明). 假定 $f : P → Q$ 是不可分解投射对象间的态射, 则 $\operatorname{im}(f)$ 是 $Q$ 的投射子模. 由 $P$ 不可分解, 得 $P ↠ \operatorname{im}(f)$ 或为同构或为 $0$.
(3. 的证明). 假定 $f : P → P$ 是不可分解投射对象的自同态, 则 $f$ 或零或单. 假定 $f$ 单以及 $P$ 不可分解, 由 fitting 引理得 $P = \mathrm{im}f^∞ := ⋂_{n ≥ 1} f^n$, 从而 $f$ 必然是满的. 这说明 $\mathrm{End}(P)$ 是除环, 从而是 brick.