遗传代数等价定义的证明

先证明 1. 至 4. 等价.
(1 ⟺ 3). 若 $A$ 的整体维数 $≤ 1$, 则 $\mathrm{Ext}^1$ 右正合. 对投射模的子模 $L ↪ P$, 总有 $\mathrm{Ext}^1(L, -) = 0$, 从而 $L$ 投射. 反之, 若投射模的子模投射, 则 任意对象的投射分解维数 $≤ 1$, 从而 $gl.\dim A ≤ 1$.
(2 ⟺ 4). 有限生成投射模的子模必是 $A^n$ 的子模, 从而是理想的直和项.
(3 ⇒ 2). 显然.
(4 ⇒ 3). 只需证明自由模 $A^{(λ)}$ 的子模 $L$ 是理想的余积. 以下对序数 $λ$ 进行超限归纳.

1. (初始). 由 $L ∩ A^{(0)}$ 是 $0$, 从而是理想的余积.
2. (后继). 若 $L ∩ A^{(α)}$ 是理想的余积, 则 $L ∩ A^{(α + 1)} = (L ∩ A^{(α)}) ⊕ (L ∩ e_{α +1} (A))$ 是理想的余积.

3. (极限). 若 $γ$ 是极限序数, 则存在一列序数列 $(α_i)_{i ∈ ℕ} → γ$. 此时 $\{L ∩ A^{(α _i)}\}_{i ∈ ℕ}$ 是 $L ∩ A^{(γ)}$ 滤过. 依照假定, 一切 $L ∩ A^{(α _i)}$ 都是理想的余积; 依照构造, $L ∩ A^{(α _i)}$ 是 $L ∩ A^{(α _{i+ k})}$ 的直和项. 依照余极限的泛性质可验证子对象的恒等式

   $$ L ∩ A^{(γ)} = ⋃_{i ∈ ℕ} (L ∩ A^{(α_i)}) = (L ∩ A^{(α _0)}) ⊕ ∐ _{i ∈ ℕ} \frac{L ∩ A^{(α _{i+1})}}{L ∩ A^{(α _i)}}. $$

(1 ⟺ 5). 证明对偶, 此处从略.
(5 ⇒ 6). 显然.
(6 ⇒ 5). 内射模是 $∏(_AA)^+$ 的直和项, 简单证明如下.

• 对内射模 $I$, 取 $A$-左模范畴的满态射 $(_AA)^{(I^+)} ↠ I^+$, 此时有单态射的复合

  $$ I ↪ I^{++} ↪ ((_AA)^{(I^+)})^+ ≃ ∏_{I^+} (_AA)^+ $$

以下归纳地证明 $C^μ := ∏_{μ}(_AA)^+$ 是若干 $C$-商对象的积即可. 记商对象模格的共同推出为记号 $∧$.

1. (初始). $N ∧ C^0 = 0$ 是 $C$-商对象的积.
2. (后继). 若 $N ∧ C^α$ 是 $C$-商对象的积, 则 $N ∧ C^{α + 1} = (N ∧ C^α) ⊕ (N ∧ e'_{α + 1}(C))$ 是 $C$-商对象的积.
3. (极限). 类似地, 按照极限的泛性质验证商对象的等式即可.

左理想 ${_AI} ↪ {_AA}$ 对应商对象 $(_AA)^+ ↠ (_AI)^+$. 由遗传等价定义的证明过程, 内射模 $(_AA)^+$ 的商对象 $(_AI)^+$ 仍是内射模, 从而 ${_AI}$ 是平坦模.