AR $\mathrm{Tor}_{≥ n}$
证明
($\mathrm{Tor}_{1,2}(Y, \mathrm{Tr}(X))$). 存在函子的四项正合列
$$ 0 → \mathrm{Tor}_2(Y, \mathrm{Tr}(X)) → Y ⊗ X^∗ → (X, Y) → \mathrm{Tor}_1(Y, \mathrm{Tr}(X)) → 0 $$
取极小投射表现 $P^{-1} → P^0 → X → 0$ 与投射分解 $Q → Y$, 考虑 $2 × ∞$ 双复形
之后依次计算横向与纵向的谱序列.
- (先取纵向). 此时 $E_1$ 是
$E_2$ 是
- (先取横向). 注意到 $P^∗$ 是投射模 (自由模的直和项), 故 $E_1$ 仅剩最右边一纵列. 计算得 $E_2 = E_∞$, 双复形的上同调群依次是 $H^0 = Y ⊗ \mathrm{Tr}(X)$, $H^{-1} = (X, Y)$, 以及 $H^{≤ -2} = 0$.
整合之, 得四项正合列与 $\mathrm{Tor}_{n+3}(T, \mathrm{Tr}(X)) ≃ \mathrm{Tor}_{n+1}(T, X^t)$,
$\mathrm{Tor}_1(N, \mathrm{Tr}(M))$ 与 $\underline{(M,N)}$ 都是 \begin{equation} N\otimes M^∗ → (M,N),\quad ∑ n⊗ f ↦ [m ↦ ∑ n ⋅ f(m)] \end{equation} 的余核.
取投射盖 $p : Q^0 → N$, 则 \begin{equation} M^t ⊗ Q^0 ≃ (M, Q^0) \xrightarrow {(Q^0,p)} (M,N) → \underline {(M, N)} → 0. \end{equation} 与四项正合列比对, 得
对 $\color{green}\blacksquare$ 使用 ker-cok 序列, 得同构.
($\mathrm{Tor}_{≥ 3}(Y, \mathrm{Tr}(X))$). $\mathrm{Tor}_{n+3}(Y, \mathrm{Tr}(X)) ≃ \mathrm{Tor}_{n+1}(Y, X^∗)$.
由滤过同调群在 $H^{≤ 2}$ 消失, 青色箭头均为同构: