滤过完备当且仅当 $\varprojlim {}^1$ 消失

采用导出极限的定义, 考虑正合列系统 \begin{equation} θ _p : 0 → F^pM → M → \frac{M}{F^p M} → 0. \end{equation} 此时有四项短正合列 (由 $\varprojlim{}^1M = 0$): \begin{equation} 0 → \varprojlim F^pM → M → \varprojlim \frac{M}{F^p M} → \varprojlim{}^1 F^pM → 0. \end{equation} 该滤过是完备的, 当且仅当中项 $M → \varprojlim \frac{M}{F^p M}$ 是同构. 此时

1. 完备等价于 $\varprojlim ^{0,1} F^p M = 0$.
2. 完备蕴含 Hausdorff, 即 $\varprojlim F^p M = 0$.
3. 假定滤过 Hausdorff, 则完备当且仅当 $\varprojlim ^{1} F^p M = 0$.