滤过完备化的性质
证明
滤过完备化具有如下重要的性质:
- $\frac{𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{M}{F^p M}$ 是同构, 作为推论, $\frac{𝐅^{p-r} 𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{F^{p-r}M}{F^p M}$.
- $𝐅^p𝐌$ 穷竭当且仅当 $F^p M$ 穷竭.
- $𝐅^p 𝐌$ 是完备的 Hausdorff 的滤过.
$\frac{𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{M}{F^p M}$ 是同构, 作为推论, $\frac{𝐅^{p-r} 𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{F^{p-r}M}{F^p M}$.
先将 $𝐅^p𝐌 ↪ 𝐌$ 加入正合列. 自然的想法是
$$ \begin{bmatrix} θ_p: &0 & → & \frac{F^{p} M}{F^{p+l} M} & → & \frac{M}{F^{p+l} M} & → & \frac{M}{F^p M} & \rightarrow & 0\\ ⇓& & & ⇓ & & ⇓ & & ⇓ & & \\ \varprojlim_l (θ_p)&0 & → & \mathbf F^p \mathbf M & → & \mathbf M & → & \frac{M}{F^p M} & → & \varprojlim ^1 \frac{F^{p} M}{F^{p+l} M} & → & \cdots \end{bmatrix} $$
依照导出正合列, 应有
\begin{equation} \cdots → \varprojlim_l {}^1 F^p M → \varprojlim_l {}^1 \frac{F^{p} M}{F^{p+l} M} → 0 \end{equation}
由常数项的导出极限是 $0$, 以上两项均为 $0$. 此时, $\varprojlim_l (θ_p)$ 是短正合列.
作为推论, 由同构定理知 \begin{equation} \frac{𝐅^{p-r} 𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{𝐌 / 𝐅 ^p𝐌}{𝐌 / 𝐅^{p-r} 𝐌}≃ \frac{M / F^p M}{M / F^{p-r}M} ≃ \frac{F^{p-r}M}{F^p M}. \end{equation}
这说明完备化态射 $α : M → 𝐌$ 给出同构:
$$ \mathrm{Gr}_∙(α) : \mathrm{Gr}_∙(M) → \mathrm{Gr}_∙(𝐌) $$
$𝐅^p𝐌$ 穷竭当且仅当 $F^p M$ 穷竭.
穷竭来自滤过余极限的正合性: \begin{equation} \frac{M}{\varinjlim F^p M} ≃ \varinjlim \frac{M}{ F^p M} ≃ \varinjlim \frac{𝐌 }{ 𝐅 ^p 𝐌 } ≃ \frac{𝐌 }{\varinjlim 𝐅 ^p 𝐌}. \end{equation} 左端为 $0$ 当且仅当右端亦然.
任意滤过的完备化 $(𝐅^p 𝐌)_{p ∈ ℤ}$ 确实是完备的 Hausdorff 的滤过.
考虑以下正合列
$$ \begin{bmatrix} ψ_p :& 0 & \to & \mathbf F^p \mathbf M & \to & \mathbf M & \to & \frac{M}{F^p M} & \to & 0\\ ⇓ & & & ⇓ & & ⇓ & & ⇓ & & \\ \varprojlim _p(ψ_p) : & 0 & \to & \mathbf F^p \mathbf M & \to & \mathbf M & \to & \frac{M}{F^p M} & → & \varprojlim_p ^1\mathbf F^p \mathbf M & → & \cdots \end{bmatrix} $$
中间 $\mathbf M ≃ \varprojlim_p \frac{M}{F^p M}$ 是同构, 故首尾两项消失.