余反射子范畴与反变有限子范畴
(余反射与反变有限). 取加法范畴 $𝒯$ 与本质小的同构闭全子范畴 $ℬ$. 假定 $ℬ$ Karoubi , $ℬ^{\mathrm{op}}$ 存在弱核, 且 $𝐦𝐨𝐝_{ℬ}$ 存在投射盖 (例如 Krull-Schmidt 三角范畴). 此时 $ℬ$ 余反射, 当且仅当其反变有限.
若 $ℬ$ 余反射, 记嵌入的右伴随 $t$, 即
$$ (X, t(A))_{ℬ} ≃ (i(X), A)_{𝒯}. $$
任意 $X ∈ 𝒯$ 都有预盖 $ε_X: t(X) → X$, 因为
$$ (i(A), ε_X)_{𝒜} ≃ \mathrm{id}_{(A, t(X))}. $$
反之, 若 $ℬ$ 反变有限, 以下求解 $A ∈ 𝒯$ 在 $ℬ$ 中的右伴随像. 记
$$ (i(-), A)_{𝒯} ∈ ℬ ^{\mathrm{op}} → 𝐌𝐨𝐝_k. $$
这一函子是上同调函子, 从而是平坦对象. 再由 $ℬ$ 反变有限, 存在恒满的态射族 $(ℬ, X\xrightarrow φ A)_{𝒯}$. 因此
$$ h_X ↠ (i(-), A)_{𝒯} \quad ∈ 𝐦𝐨𝐝_ℬ $$
由于平坦对象 $(i(-), A)_{𝒯}$ 存在投射盖, 且 $𝒯^{\mathrm{op}}$ 存在弱余核, 从而只能是投射对象 (证明). 这一对象也是有限生成的. 再由 Karoubi 性, 该函子可表, 因此 $i$ 存在右伴随.
假定 $ℬ$ Karoubi, 存在弱核. 此时 $ℬ$ 余反射, 当且仅当其反变有限.
若 $ℬ$ 余反射, 则反变有限 (见前一命题).
若 $ℬ$ 反变有限, 对任意 $A ∈ 𝒯$ 构造 $$ X_K \xrightarrow c K \xrightarrow b X_A \xrightarrow a A. $$ 其中 $X_M → M$ 是预盖, $b$ 是 $a$ 的弱核. 此时有正合列 $$ (-, X_K)_ℬ → (-,X_A)_ℬ → (i(-),A)_𝒯 → 0. $$ 由于 $(i(-),A)_𝒯$ 是有限表现的平坦对象, 从而投射 (证明). 再由 Karoubi 性, 该函子可表, 因此 $i$ 存在右伴随.