完备 cotorsion pair 的单边定义
证明
(Cotorison pair). 称对象类 $(𝒰 , 𝒱)$ 是外三角范畴的 cotorsion pair, 若
- $𝒰$ 与 $𝒱$ 是同构闭且直和项闭的加法全子范畴;
- $𝔼 (𝒰 , 𝒱 ) = 0$;
- 任意对象 $X$ 可以嵌入 $𝔼$-三角 $X → V_C → U_C$;
- 任意对象 $Y$ 可以嵌入 $𝔼$-三角 $V^C → U^C → Y$.
此处定义的 cotorsion pair 自动是完备的, 对应正合范畴的特殊右 $𝒱$ 逼近与特殊左 $𝒰$ 逼近.
若范畴有足够投射对象, 则以上定义的 3. 蕴含 4.; 若范畴有足够内射对象, 则以上定义的 4. 蕴含 3..
假定任意对象 $C$ 嵌入 $𝔼$-三角 $C → V_C → U_C$, 同时范畴有足够投射对象. 今任取 $X$, 考虑如下双 inflation 的所谓推出
由 $P, U_k ∈ 𝒰$, 得 $E ∈ 𝒰$. 这给出了
V_k → E → X.
对偶命题证明略.