外三角范畴的同伦的推出拉回
外三角范畴的推论
暂时称预外三角范畴是满足 ET1, ET2, ET3 与 ET3’ 的三元组 $(𝒞 , 𝔼 , 𝔰 )$, 见此文. 若预外三角范畴满足 ET4 与 ET4’, 则称之外三角范畴.
对外三角范畴, 若下图是 $δ$ 与 $λ _∗ δ$ 的实现, 则存在一个较好的 $w$ 使得方块交换, 同时下方是 $y^∗ δ$ 的实现.
依照两个 deflation 的拉回补全交换图:
由 $b^\ast \delta = 0$, 不妨将 $b^\ast \lambda _\ast \delta$ 写作标准直和形式, $A⊕ Y$ 处相差的自同构不影响原有箭头. 依照反交换等式, 得 $$\begin{equation}
0 = \binom {λ '}{a} _∗ δ + \binom {1}{0} _∗ λ _∗ δ = \binom {λ ' + λ} a_∗ δ.
\end{equation}$$ 等式第二分量本就恒等. 对于第一分量, 长正合列表明存在 $l$ 使得 $$\begin{equation}
[X \xrightarrow a Y \xrightarrow l A] = X \xrightarrow {λ + λ '} A.
\end{equation}$$ 分解, 记 $(λ + λ ' ) = l ∘ a$.
下只需证明, 存在较好的 $w$ 使得以下态射图交换:
以上 $l$ 的选取使得左侧交换. 右侧交换等价于 $w+ w' = xl$, 直接取 $w = xl - w'$.
- $wa - x λ = xla - w'a - xλ = xla - x λ ' - xλ = x(la - λ - λ ' ) = 0$;
- $yw - b = yxl - yw' - b = 0 l + b - b = 0$.
因此, 以上对 $w$ 的选取合法.
(对偶命题). 对于以上 $δ$ 与 $s^∗ δ$ 的实现, 存在较好的 $t$ 使得上图交换, 且下图是 $a_∗ δ$ 的实现.