正合范畴的重要结论 (精简版)
定义
(Quillen 定义). 正合范畴记作 $(𝒜 , ℰ)$. $𝒜$ 是加法范畴, $ℰ$ 是满足如下性质对同构封闭的的 kernel-coker 对 $(i,d)$.
以上 $\ker d = i$, 且 $\mathrm{cok} i = d$.
- (EX 0). 任意 $\mathrm{0}_X ∈ 𝐢𝐧𝐟$;
- (EX 0’). 任意 $\mathrm{0}_X ∈ 𝐝𝐞𝐟$;
- (EX 1). 全体 $𝐢𝐧𝐟$ 对合成封闭;
- (EX 1’). 全体 $𝐝𝐞𝐟$ 对合成封闭;
- (EX 2). 任意 $𝐢𝐧𝐟$ 关于任意态射的推出总是 $𝐢𝐧𝐟$;
- (EX 2’). 任意 $𝐝𝐞𝐟$ 关于任意态射的拉回总是 $𝐝𝐞𝐟$.
EX0, EX1, EX2, EX2’ 推导出其余条件.
通用名称:
| 对象 (描述) | 名称 1 | 名称 2 | 记号 |
|---|---|---|---|
| ker-cok 对 | conflation | admissible ses | $(i,d)$ |
| 好的 ker 态射 | inflation | admissible monic | $↣$ |
| 好的 cok 态射 | deflation | admissible epic | $↠$ |
| 好的满-单合成 | regular morphism | admissible morphism | $⇒$ |
例子
简单结论.
- $0 → X ≃ Y$ 与 $X ≃ Y → 0$ 属于 $ℰ$;
- 可裂 ses 含于 $ℰ$;
- $ℰ ⊕ ℰ ⊆ ℰ$;
- $𝐢𝐧𝐟$ 未必单, 但满的 $𝐢𝐧𝐟$ 等价于同构;
- $𝐝𝐞𝐟$ 未必满, 但单的 $𝐝𝐞𝐟$ 等价于同构;
Heller 构造.
- (Heller). $(ℰ , ℱ)$ 是正合范畴, $ℱ$ 选 $3 × 3$ 态射 (六条 conflation).
- 此构造未必保持 Abel 范畴.
- (Hulher). 以上结论推广至小 diagram.
以下是原始的正合范畴的 EX3 (EX3’) 公理, 可证明由其他推出.
- 若 $f$ 有 $\mathrm{cok}$, 则 $[gf ∈ 𝐢𝐧𝐟] ⟹ [f ∈ 𝐢𝐧𝐟]$;
- 若 $g$ 有 $\mathrm{ker}$, 则 $[gf ∈ 𝐝𝐞𝐟] ⟹ [g ∈ 𝐝𝐞𝐟]$.
交换方块
(交换方块). 给定 EX 2 中 $𝐢𝐧𝐟$ 对应的推出 , 以下等价.
- 这是拉回;
- 这是推出拉回;
- 存在 ses (下图上)
- 可向右补全作 $𝐜𝐨𝐧$ 的交换图 (上图下).
称以上为 $𝐜𝐨𝐧$ 的推出 (固定尾, 推出首). 对偶地, 给出两种推出拉回
($𝐜𝐨𝐧$ 的态射分解). 给定 conflation 间的态射,
有以下结论
- $γ$ 由 $α$ 与 $β$ 唯一决定;
- $α$ 由 $β$ 与 $γ$ 唯一决定;
- 任意 $𝐜𝐨𝐧$ 间的态射通过 $𝐜𝐨𝐧$ 分解, 使得以下两处是推出拉回方块:
- 若 $α$ 与 $γ$ 是同构, 则 $β$ 必然是同构;
- 若 $α$ 与 $γ$ 决定 $β$, 则 $β$ 在前后复合同构的意义下是唯一的.
(双). 两个 $𝐝𝐞𝐟$ 的拉回是推出拉回, 同时也是四个 $𝐜𝐨𝐧$ 的交换图; 对称地, 两个 $𝐢𝐧𝐟$ 的拉回是推出拉回, 同时也是四个 $𝐜𝐨𝐧$ 的交换图.
(Kunzer, EX 3 的特殊形式). 若有左侧交换图, 或是右侧的满态射方块 (上一定理), 则能补全作以下四条 $𝐜𝐨𝐧$ 的交换图:
($𝐢𝐧𝐟 + 𝐝𝐞𝐟 = PBPO$). 任意左侧类型推出与右侧类型的拉回, 均能补全作中间类型的推出拉回方块.
特别地, 这也给出了以下类型的四条正合列的交换图
(Noether 同构). 给定 $𝐢𝐧𝐟$ 的初始资料 (下图左) 与 $𝐝𝐞𝐟$ 的初始资料 (下图右), 则有四处 $𝐜𝐨𝐧$ 的交换图:
以上均是特殊的 $3 × 3$ 引理的使用. 一般地, 假定以下各行 ($r_∙$) 是 $𝐜𝐨𝐧$
则有如下结论:
- 若存在 $𝐜𝐨𝐧$ $c_1$ 与 $c_2$ 使得相应方块交换, 则存在唯一的 $𝐜𝐨𝐧$ $c_3$ 使得相应方块交换.
- 若存在 $𝐜𝐨𝐧$ $c_3$ 与 $c_2$ 使得相应方块交换, 则存在唯一的 $𝐜𝐨𝐧$ $c_1$ 使得相应方块交换.
- 若存在 $𝐜𝐨𝐧$ $c_1$ 与 $c_3$ 使得相应方块交换, 且 $c_2$ 复合为零, 则 $c_2$ 是 $𝐜𝐨𝐧$.
幂等完备, 弱幂等完备
称加法范畴 $𝒜$ 是
- 幂等完备的, 若以下等价条件成立:
- 任意幂等自同态 $e^2 = e$ 有核,
- 任意幂等自同态 $e^2 = e$ 有余核,
- 任意幂等自同态 $e^2 = e$ 可写作矩阵形式 $\binom{I \ \ O}{O \ \ O}$.
- 弱幂等完备的, 若以下等价条件成立:
- 若 $f$ 有左逆元, 则 $f$ 是可裂单,
- 若 $f$ 有右逆元, 则 $f$ 是可裂满,
- (正合范畴特有). 可裂单是 $𝐢𝐧𝐟$,
- (正合范畴特有). 可裂满是 $𝐝𝐞𝐟$,
- (正合范畴特有). 若 $gf ∈ 𝐝𝐞𝐟$, 则 $g ∈ 𝐝𝐞𝐟$,
- (正合范畴特有). 若 $gf ∈ 𝐢𝐧𝐟$, 则 $g ∈ 𝐢𝐧𝐟$,
弱幂等完备严格弱于幂等完备, 例如偶数维有限线性空间范畴是弱幂等完备的, 但非幂等完备.
- 通俗地说, 弱幂等完备类似模的直和分解, 幂等完备类似环的直和分解.
同调引理
称 $f$ 是 admissible 态射, 若 $f ∈ 𝐢𝐧𝐟 ∘ 𝐜𝐨𝐟$, 记作 $⇒$. 类似满-单分解.
(所谓满-单分解唯一). 将 $⇒$ 的拆解在同构意义下唯一. 换言之, 以下交换图中总能引入虚线的同构态射, 使得两个三角交换.
Admissible 映射关于单态射的拉回以及满态射的推出封闭.
若所有态射均 admissible, 则该正合范畴是 Abel 范畴.
类似地, 称 $A ⇒ B ⇒ C$ 是正合列, 若分解 $A ↠ X ↣ B ↠ Y ↣ C$ 给出 $[X ↣ B ↠ Y] ∈ ℰ$.
(五引理). 若下图横行正合, 竖向 (除中间列) 是同构, 则竖向态射是同构.
以上定理不需要幂等完备条件.
以下定理需要幂等完备条件.
若有以下交换图, 则 $? ∈ 𝐢𝐧𝐟$:
若有以下交换图, 则 $? ∈ 𝐝𝐞𝐟$:
(六引理). 若中间三角是 admissible 态射的合成, 则有外周的六项正合列:
(正合范畴中的强形式蛇引理). 若有中间, 则有六项正合列: