八面体公理的等价定义

(1 ⇒ 2). 如有上图红色箭头, 则依照八面体公理得下图, 回推上图 (证明下行是好三角):

只需证明 $c_3$ 是好三角.

(2 ⇒ 3). 给定 3. 的资料 (上图红色部分), 则可以通过 $2$ 补全 (下图绿色部分):

由态射嵌入的唯一性, 得 $W ≃ W'$ (这一同构不改变同伦推出拉回方块中的态射). 由 $Z ≃ Z'$, 三角射与同伦推出拉回方块同时相差一个 $φ ∘ \mathrm{id}_Z ∘ φ^{-1}$, 从而保持结论.

(3 ⇒ 1). 下证明八面体公理: 给定初始资料 (蓝), 取同伦的推出拉回 (红), 依照题设补全四个好三角的交换图 (如下所示)

继而证明绿色方块的交换性:

依定义, $j$ 恰是同伦推出拉回方块中的态射

$$\begin{equation} X\xrightarrow{\binom{a_1}{b_1}} Y_2\oplus Y_1\xrightarrow{(- b_2,a_2)} Z\overset j \to X[1]. \end{equation}$$

同理, $-j$ 是同伦推出拉回方块中的态射

$$\begin{equation} X\xrightarrow{\binom{a_1}{b_1}} Y_2\oplus Y_1\xrightarrow{(b_2,- a_2)} Z\overset {-j} \to X[1]. \end{equation}$$