外三角范畴 (基本定义?)
参考资料
外三角范畴 (external triangulated Category or simply extriangulated categotry) 的第一手资料见
- (ArXiv 版本) Hiroyuki Nakaoka (中岡宏行), & Yann Palu. (2017). Mutation via Hovey twin cotorsion pairs and model structures in extriangulated categories.
若干应用与推广: AR 理论, Tilting, 张量三角范畴, 心, dg 范畴, 等等.
定义
约定所有范畴 ($𝒞$) 都是加法范畴. 外三角范畴的基本资料是 $(𝒞, 𝔼, 𝔰)$.
扩张结构
(带扩张的加法范畴 $(𝒞 , 𝔼)$). $𝒞$ 上的一个扩张结构是指双加法函子 $$\begin{equation} 𝔼 : 𝒞^{\mathrm{op}} × 𝒞 → 𝐀𝐛 ,\quad (X,Y) ↦ 𝔼 (X,Y). \end{equation}$$ 若无混淆, 简单地记群同态
- $𝔼(f,Y) := f^∗$,
- $𝔼 (X, g) := g_∗$.
依照双加法函子的定义, $f^∗ g_∗ = 𝔼 (f,g) = g_∗ f^∗$.
(扩张元). 对 $δ ∈ 𝔼 (X,Y)$, 记 $(Y, δ , X)$ 是 $(𝒞 , 𝔼)$ 的扩张元. 请注意朝向.
将 $(𝒞 , 𝔼)$ 想象作 $(𝐀𝐛 , \mathrm{Ext}^1)$; $(Y, δ, X)$ 类比作 $0 → Y → E → X → 0$ 类型的短正合列.
(加群结构). 记 $Δ := \binom 11$ 与 $∇ := (1,1)$, 定义 Baer 和 $$\begin{equation} ∇_∗ Δ ^∗ : 𝔼(X ⊕ X, Y ⊕ Y) → 𝔼(X,Y),\quad δ _1 ⊕ δ _2 ↦ δ _1 + δ _2. \end{equation}$$
特别地, $(δ_1, -δ_1)$ 的像是 $0$ 元.
扩张的实现
($[→ → ]$). 对任意对象 $X$ 与 $Y$, 定义 $[X,Y]$ 如下:
- 考虑三项映射链 $[X \overset a → Y \overset b → Z]$ 构成的类;
- 称 $[X \overset a → Y \overset b → Z]$ 与 $[X \overset {a'} → Y' \overset {b'} → Z]$ 等价, 若存在同构 $φ$ 使得有交换图
以上, $[X,Y]$ 定义作类的等价类.
为方便操作,
- 形式地记 $[X,Y]$ 中的 $0$ 是可裂短正合列所在的等价类 $[X → X ⊕ Y → Y]$.
- 约定 $[,]$ 对直和封闭. 对 $[X_i → Y_i → Z_i]$ ($i=1,2$), 等价类与直和交换: $$\begin{align} & [X_1 → Y_1 → Z_1] ⊕ [X_2 → Y_2 → Z_2]\\ = \ &[X_1 ⊕ X_2 → Y_1 ⊕ Y_2 → Z_1 ⊕ Z_2]\\ ∈ \ &[X_1 ⊕ X_2, Z_1 ⊕ Z_2] \end{align}$$ 相应的态射也是直和关系, 此处从略.
(实现). 扩张结构 $(𝒞 , 𝔼)$ 的一个实现是指对应 $𝔰$, 其类型是 $$\begin{equation} 𝔰 : 𝔼 (Y,X) → [X,Y],\quad (X, δ, Y) ↦ 𝔰 (δ) = [X → E → Y]. \end{equation}$$
同时, 对任意推出 $f_∗$, 总存在 $φ$ 使得右侧是 $[,]$ 中的交换图:
对于拉回的要求对偶.
实现 $𝔰$ 不能简单地看作函子 (例如 $𝔰 (f_∗)$) 的