三角范畴的定义, 八面体公理
预三角范畴, 三角范畴
(预三角范畴). 给定以下资料
- 加法范畴 $𝒞$,
- 自同构函子 $T : 𝒞 ≃ 𝒞$ (平移函子),
- 三角类 $ℰ = \{X \xrightarrow u Y\xrightarrow vZ\xrightarrow w TX\}$.
称 $(𝒞 , T, ℰ)$ 是预三角范畴, 若三角类满足以下关系.
- (TR 1-1, $ℰ$ 对同构封闭). 任给定态射的交换图:
其纵向是同构. 若某横行属于 $ℰ$, 则另一横行亦属于 $ℰ$
- (TR 1-2, 态射可嵌入三角). 任意态射 $f ∈ 𝖬𝗈𝗋 (𝒞)$ 可以嵌入好三角 $[∙ \xrightarrow f ∙ → ∙ → ∙]$.
- (TR 1-3, 平凡三角). 对任意 $X$, $[X = X → 0 → TX] ∈ ℰ$, 称作平凡三角.
- (TR 2, 顺时针旋转). 若 $[X \xrightarrow u Y\xrightarrow vZ\xrightarrow w TX] ∈ ℰ$, 则 $[Y\xrightarrow vZ\xrightarrow w TX \xrightarrow {-Tu} TY] ∈ ℰ$.
- (TR 3, 二推三原则). 态射范畴的态射 ($2 × 2$ 交换方块) 可以嵌入三角射 (TR 1-2 的态射表述).
规范一些名词:
- (好三角). 指 $ℰ$ 中元素, 由六元组 $(X,Y,Z,u,v,w)$ 表示;
- (三角射). 好三角的作成的交换图, 形如 ($TX → TX'$ 必须是 $Tf$)
- (平移函子, 悬挂函子). 经常使用 $Σ$ 与 $[1]$ 表示平移.
以下是一些注意事项.
- 请注意 TR 2 中的符号. 顺时针旋转改变符号, 但对三角射而言, $Tf$ 不加负号.
- TR3 中延拓的态射未必唯一.
- 函子 $T^2$ 给出三角范畴的同构, 但这不以为着对 $\triangle ∈ ℰ$, 有三角同构 $Δ ≃ T^2 Δ$.
由定义, 以下是预三角范畴的性质.
称预三角范畴 $(𝒞 , [1], ℰ)$ 是三角范畴, 若其满足以下公理.
(八面体公理). 若下图中 $r_1$, $r_2$ 与 $c_3$ 均为好三角, 则 $c_2$ 是好三角且所有方块交换:
红色箭头是题设中的, 强调了 $u[1]$ 与 $v[1]$ 的符号.
由 TR 1-2 (态射嵌入三角), 可精简八面体公理的表述: 若有态射 , 则可以向下且向右地补全八面体公理的描述图.
将好三角横向放置的三项 $[X → Y → Z]$ 类比作 ses, 回顾米田积 $\mathrm{Ext}^1$ 的函子性.
- 八面体公理对 $Y$ 处态射做了手脚. 根本上是 对做分析.
- 类似 ses 的推出, 余积变换对 $X → ?$ 做了手脚. 根本上是对 做分析.
- 类似 ses 的拉回, 基变换对 $? → Z$ 做了手脚. 根本上是对 做分析.
每一项命题均有完整版本 (三个好三角推一个好三角) 与精简版本 (两个态射延拓成全图)
(基变换, 余积变换). 以下是八面体公理的等价形式 (请注意符号). 以下默认初始三角 $[X → Y → W]$ 的坐标是 $(r;c) = (1;[1,2,3])$.
-
(基变换, 完整版本). 若下图中 $r_1$, $r_2$ 与 $c_3$ 均为好三角, 则 $c_2$ 是好三角且所有方块交换:
- (基变换, 精简版本). 基变换中, 绿色部分 (横三角 + 纵箭头) 补成全图.
- (基变换, 完整版本). 余基变换中, 若下图中 $r_2$, $r_3$ 与 $c_1$ 均为好三角, 则 $c_2$ 是好三角且所有方块交换:
- (基变换, 精简版本). 余基变换中, 绿色部分 (横三角 + 纵箭头) 补成全图.
八面体公理是同伦的推出拉回
拓扑学背景
(映射锥). 拓扑地看, 态射 $f:X → Y$ 对应的映射锥如下:
(映射筒). 拓扑地看, 态射 $f:X → Y$ 对应的映射筒如下:
(悬挂). 依照 Puppe 的长纤维序列, $\mathrm{Cone}(i(f):Y\to \mathrm{Cone}(f))$ 对应 $X$ 的悬挂:
同理, $\mathrm{Cone}(p(f):\mathrm{Cone}(f)\to X[1])$ 对应 $Y$ 的悬挂:
(符号法则: 为什么顺时针/逆时针旋转需要加上负号?). 给定好三角 $X\xrightarrow f Y\xrightarrow{\binom 01} \mathrm{Cone}(f)\xrightarrow{(1\,\,0)} X[1]$. 以下给出 $\mathrm{Cyl}(f)$:
八面体公理的解释
取标准三角 $X\xrightarrow f Y\xrightarrow{i(f)} \mathrm{Cone}(f)\xrightarrow {p(f)} X[1]$ 为标准三角, 则下图交换:
此处 $f$ 与 $g$ 是任意选取的, 从而八面体公理等价于
- 对任意 $g$, 总有同伦范畴中的同构 $\mathrm{Cone}(g) ≃ \mathrm{Cone}(g_∗)$
虚线处类似 Noether 同构 $A/B ≃ (A/C)/(B/C)$, 图示如下:
将上图沿虚线压缩至一点 (这是同伦关系), 得下图. 对大多数拓扑情形而言, 八面体公理是可以直接证出的.
($⋆$ 处的同构). 八面体公理中有如下交换方块:
拓扑地解释如下:
同伦的推出拉回
(Abel 范畴的推出-拉回方块). 称交换图 是推出拉回方块, 当且仅当以下是四条 ses 的交换图
也当且仅当存在短正合列 $$\begin{equation} 0\to X\xrightarrow{\binom{a_1}{b_1}} Y_2\oplus Y_1\xrightarrow{(b_2,-a_2)} Z\to 0. \end{equation}$$
(同伦推出拉回). 若 $⋆$ 处 $2 × 2$ 规格的交换方块是同伦推出拉回的, 若存在好三角
$$\begin{equation} X\xrightarrow{\binom{a_1}{b_1}} Y_2⊕ Y_1\xrightarrow{(b_2,-a_2)} Z\xrightarrow h X[1]. \end{equation}$$
考虑其同伦背景, 有时将第二项记作 $Y_2∨ Y_1$. 将满足以上条件的方块 $⋆$ 称作同伦的推出拉回.
(八面体公理的等价定义, 证明). 预预三角范畴是三角范畴, 当且仅当
- 预三角范畴满足八面体公理;
- 任意两个红色态射给出如下三角射与交换图:
- 给定红色处三角与同伦推出拉回方块, 则可补全下图三角与三角射
注意: 对条件 2. 与 3. 的同伦推出拉回方块, 需要反号的态射是 $⇒$:
(Neeman 公理). 预三角范畴是三角范畴, 若对任意交换图 , 存在态射 $h$ 使得有三角射
以及好三角 $$\begin{equation} Y \oplus X' \xrightarrow{\begin{pmatrix}-v&0\\g&u'\end{pmatrix}} Z \oplus Y' \xrightarrow{\begin{pmatrix}-w&0\\h&v'\end{pmatrix}} X[1] \oplus W\xrightarrow{\begin{pmatrix}-u[1]&0\\f[1]&w'\end{pmatrix}} Y[1]\oplus X'[1] \end{equation}$$
TR3 中二推三态射可以选的好一些.
应用: MV 序列?
(MV-序列). 考虑以下同伦的推出拉回:
此时有函子的长正合列 $$ \begin{align} \cdots\to [M,Y]&\xrightarrow{\begin{pmatrix}{[M,g_\ast]} \ \ {[M,i(f)]}\end{pmatrix}} [M,Z]\oplus [M,\mathrm{Cone}(f)]\\[6pt] &\xrightarrow{\begin{pmatrix}[M,i(f\circ g)]& -[M,g_\ast]\end{pmatrix}} [M,\mathrm{Cone}(g\circ f)]\xrightarrow{[M,\delta]}[M,Y[1]]\to \cdots. \end{align} $$
作为特例, 传统的 MV 序列 $$\begin{aligned} \cdots &\to H_n(X\cap Y)\to H_n(X)\oplus H_n (Y) \to\\ &\to H_n(X\cup Y)\to H_{n-1}(X\cap Y)\to\cdots \end{aligned}$$ 连接态射 $\delta$ 定义作以下两种相同的复合 (八面体公理). 一者是 $$\begin{equation} \mathrm{Cone}(g\circ f)\to \mathrm{Cone}[Z\to \mathrm{Cone}(g\circ f)]\to Y[1]. \end{equation}$$
对应示意图
另一者是 $\mathrm{Cone}(g\circ f)\to X[1]\to Y[1]$, 对应示意图