正合范畴

Chencheng Zhang
May 12, 2025

正合范畴的定义与常见结论

正合范畴的定义

Quillen 的原始定义¹, 以及 Keller 的等价定义²³. 笔记的大部分结论可以在⁴ 中找到.

(Keller 的等价定义). 正合范畴描述作二元组 $(ℬ , 𝒮)$. 其中

$ℬ$ 是某个 Abel 范畴 $𝒜$ 关于扩张封闭的加法全子范畴,
$𝒮$ 是落在 $ℬ$ 中的 $𝒜$ 中的 ses.

(Quillen 的原始定义). 正合范畴描述作二元组 $(ℬ, 𝒮)$. $ℬ$ 是加法范畴, $𝒮 = \{X \xrightarrow i Y \xrightarrow d Z\}$ 由 $ℬ$ 中三项映射序列构成, 满足如下关系.

(EX -2). $𝒮$ 关于同构封闭 (视作函子范畴 $ℬ^{1 → 2 → 3}$ 中的对象).
(EX -1). 任意 $(i,d) ∈ 𝒮$ 需满足 $i = \ker d$ 与 $d = \operatorname{cok} i$. 对 $(i,d) ∈ 𝒮$, 定义惯用称呼:
- $i$ 是 inflation (admissible monic), 通常用 $↣$ 表示,
- $d$ 是 deflation (admissible epic), 通常用 $↠$ 表示,
- $(i,d)$ 是 conflation (短正合列),
- $𝒮$ 是一个正合结构 (exact structure).
(EX 0). $\mathrm{id}_0$ 是 inflation.
(EX 0’). $\mathrm{id}_0$ 是 deflation.
(EX 1). Inflation 关于合成封闭.
(EX 1’). Deflation 关于合成封闭.
(EX 2). Inflation 关于任何态射的推出存在, 其对边态射仍是 inflation. 给定推出方块 , 若 $i$ 是 inflation, 则 $i'$ 亦然.
(EX 2’). Deflation 关于任何态射的拉回存在. 给定拉回方块 , 若 $d$ 是 deflation, 则 $d'$ 亦然.
(EX 3). 存在 cokernel 的态射 $i$ 未必是 inflation; 若存在形如 $f ∘ ip$ 的 inflation, 则 $p$ 是 inflation.
(EX 3’). 存在 kernel 的态射 $p$ 未必是 deflation; 若存在形如 $p ∘ f$ 的 deflation, 则 $p$ 是 deflation.

以上条件存在冗余之处

文⁵指出 EX 3 与 EX 3’ 是不必的.
文³指出 EX0, EX1, EX2, EX2’ 可以推出其余条件.

由 Quillen 的定义 ¹, inflation (deflation) 必然是单态射 (满态射).

对任意范畴, 可裂满关于拉回封闭.
对 Abel 范畴, 满态射的拉回自动是推出拉回方块 (由 ses 观点), 从而所有满态射均关于拉回封闭.

随着范畴的特殊化, 被拉回保持的满态射似乎是增加的. 正合范畴介于通常加法范畴与 Abel 范畴之间.

正合范畴的重要结论

精简版

以下结论选自⁴, 单独编号.

推出拉回方块

Remark 2.2. $(𝒜, ℰ)$ 是正合范畴当且仅当 $(𝒜^{\mathrm{op}}, ℰ^{\mathrm{op}})$ 亦然.

正合范畴是对称的, 反范畴反转 inflation 与 deflation.

Remark 2.3. 同构既是 inflation, 也是 deflation.

inflation ∩ epimorphism = isomorphism;
deflation ∩ monomorphism = isomorphism.

Lemma 2.7. 可裂 ses 属于 $𝒮$; Proposition 2.9. $𝒮$ 对直和封闭.

Proposition 2.12. (单态射方块何时是推出拉回?). 给定交换图 , 以下等价.

这是推出方块;
$[A \xrightarrow{\binom i f} A ⊕ A' \xrightarrow{(- i' \ f')} B'] ∈ 𝒮$;
这是推出拉回方块;
$i$ 与 $i'$ 有同构的 deflation 对象, 且下图是 conflation 的交换图:

特别地, 有如下推论:

将 Abel 范畴视作特殊的正合范畴, 以上结论自动成立;
对两条 inflation 与两条 deflation 的交换图 , 推出等价于拉回.

Proposition 2.16 (Obscure axiom). 即 EX 3 与 EX 3’. 特别地, 有如下推论

若 $(i ⊕ i', d ⊕ d')$ 是 conflation (假定 $di$ 与 $d'i'$ 可复合), 则 $(i,d)$ 与 $(i',d')$ 均是 conflation.
若推出方块包含三处 inflation, 则虚线处也是 inflation.
若拉回方块包含三处 deflation, 则虚线处也是 deflation.

短正合列的变换

Proposition 3.1. 若 $(α , β , γ) : (i,d) → (i',d')$ 是 conflation 的态射, 即交换图

则 $(α , β , γ)$ 分解作推出与拉回 ($∘$ 是推出拉回方块):

若 $α$ 与 $γ$ 是同构, 则 $β$ 亦然: 这类似将 $\mathrm{Ext}^1$ 定义作 ses 的等价类.

Lemma 3.5. 若 $(\mathrm{id}_A, i, i')$ 是 conflation $r_1$ 与 $r_2$ 间的态射. 将 $c_2$ 与 $c_3$ 补全, 则虚线处态射是同构:

对于 Abel 范畴 (或群范畴的特殊等式) 而言, 这类似 Noether 同构 $\frac{C / A}{B / A} ≃ \frac{C}{B}$.
对三角范畴而言, 这类似八面体公理.

Exercise 3.11. (八面体公理的另一方向). 给定红色方块中的初始资料 ($i$ 是 inflation, $d$ 是 deflation), 则有两行两列 conflation 的交换图:

Corollary 3.6. (九引理). 以下各行 ($r_∙$) 是 conflation.

则有如下结论:

若存在 conflation $c_1$ 与 $c_2$ 使得相应方块交换, 则存在唯一的 conflation $c_3$ 使得相应方块交换.
若存在 conflation $c_3$ 与 $c_2$ 使得相应方块交换, 则存在唯一的 conflation $c_1$ 使得相应方块交换.
若存在 conflation $c_1$ 与 $c_3$ 使得相应方块交换, 且 $c_2$ 复合为零, 则 $c_2$ 是 conflation.

Exercise 3.9. (Heller 的正合范畴). 给定正合范畴 $(ℬ , 𝒮)$, 则有正合范畴 $(𝒮, ℱ)$. 其中

$𝒮$ 视同函子范畴 $ℬ^{1 → 2 → 3}$ 的全子范畴;
$ℱ$ 是 conflation 的 conflation, 其态射形如
对 Abel 范畴, 上述构造所得的 ses 的范畴不再是 Abel 范畴.
对三角范畴, 上述构造类似 $4 × 4$ 引理 (好三角的好三角 $Δ_A → Δ_B → Δ_C$ 后一项需要适当地反号).

$\mathrm{Ext}^1$-(大) 群

同调代数的类似定理

嵌入定理

介绍 Mitchell 嵌入定理⁶, 以及正合范畴的类似物: Thomason 嵌入定理⁷ (证明见 Appendix A., ⁴).

通常的表述是 embedding theorem; 但原文⁶使用的是 imbedding theorem.

(Freyd-Mitchell 嵌入入定理). 给定本质小的 Abel 范畴 $𝒜$, 则存在含幺环 $R$ 与全忠实的正合函子 $F : 𝒜 → 𝐌𝐨𝐝_R$. 此时, 复杂的图表定理可用追图操作.

证明思路: 证明有限表现左正合函子范畴 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Lex} (𝒜 , 𝐀𝐛)$ 是 Abel 范畴 (参考此文第一部分), 米田嵌入 $$\begin{equation} h^∙ : 𝒜 → 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Lex} (𝒜 , 𝐀𝐛),\quad X ↦ (X,-) \end{equation}$$ 构造了是全忠实的正合 (反变) 函子, $\operatorname{im}h^∙$ 所在的 Abel 范畴是有限表现函子范畴, 其

去向是 $𝐀𝐛$, 因此满足 AB3 与 AB5 条件.
同时, $⨁_{X ∈ 𝒜 } h^X$ 是生成元.

从而 $\operatorname{im}h^∙$ 是 Grothendieck 范畴, 取内射余生成元 $C$. 此时, $R = \mathrm{End}(C)^{\mathrm{op}}$ 即为所求. 最后的复合函子是 $$\begin{equation} 𝒜 \xrightarrow[\text{反变}] {h^∙ } \operatorname{im} h^∙ \xrightarrow[\text{反变}] {(-,C)} 𝐌𝐨𝐝_R. \end{equation}$$

关于追图: 若有全忠实正合函子 $F : 𝒜 → 𝐌𝐨𝐝_R$,

$F(-)$ 正合, 从而保持小极限.
- 例如, $0 → K → X → C → 0$ 是 $𝒜$ 中的 ses, 仅当 $0 → F(K) → F(X) → F(C) → 0$ 是 $𝐌𝐨𝐝_R$ 中的 ses.
$F(-)$ 全忠实, 返回一切极限与余极限.
- 例如, 若 $0 → K → X → C → 0$ 是 $𝒜$ 中的 ses, 当 $0 → F(K) → F(X) → F(C) → 0$ 是 $𝐌𝐨𝐝_R$ 中的 ses.

(直接进行最后一步). 通常的范畴 (例如 $𝐌𝐨𝐝_R^{\mathrm{op}}$) 是局部小的 (未必本质小). 若

存在投射生成元 $U$, 则 $(U, - )$ 是全忠实的正合函子;
存在内射余生成元 $C$, 则 $(- , C)$ 是全忠实的正合函子.

此时仍可追图操作. 这是嵌入定理原始证明中的最后一步,

(Thomason 嵌入定理). 给定本质小的正合范畴 $(ℬ , 𝒮)$, 则存在 Abel 范畴 $𝒜$ 与全忠实, 正合, 且返回正合列的函子 $F : ℬ → 𝒜$. 结合 Mitchell 嵌入定理, 复杂的图表定理可用追图操作.

证明思路 (deflation 版本): 对任意对象 $X$ 构造 deflation 的覆盖空间 $\mathrm{Cov}(X) := \{d ∣ ∙ \overset d ↠ X\}$, 定义 Grothendieck 拓扑 $𝒥$ (关键点是 EX2’). 取 $𝒜 := \mathrm{Ab}(ℬ, 𝒥)$ 是 Abel 层空间, 验证可表函子是 Abel 层, 则 $i : X ↦ (-, X)$ 即为所求.

Thomason 的推论: 假定正合范畴弱幂等完备 (形变收缩写作直和项), 若 $i(f)$ 满, 则 $f$ 是 deflation.

关于弱幂等完备

References

(Springer). D. Quillen, Higher algebraic K-theory I, Algebraic K-theory, I: Higher K-theories (Proc. Conf., Battelle Memorial Inst., Seattle, Wash., 1972), Springer, Berlin, 1973, pp. 85–147. Lecture Notes in Math., Vol. 341. ↩︎ ↩︎²
(Online version). P. Draexler, I. Reiten, S. O. Smalo, and O. Solberg, Exact categories and vector space categories, Trans. Amer. Math. Soc. 351 (1999), no. 2, 647–682. With an appendix by B. Keller. ↩︎
(Springer) B. Keller, Chain complexes and stable categories, Manuscripta Math. 67 (1990), no. 4, 379–417. ↩︎ ↩︎²
(arXiv). T. Bühler, Exact categories. Expositiones Mathematicae, 28 (2010), no. 1, 1-69. ↩︎ ↩︎² ↩︎³
(Online version) N. Yoneda (米田信夫), On Ext and exact sequences, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. I 8 (1960), 507–576 (1960). ↩︎
(JSTOR). Mitchell, B. (1964). The Full Imbedding Theorem. American Journal of Mathematics, 86(3), 619–637. ↩︎ ↩︎²
(Springer). R.W. Thomason, T. Trobaugh, Higher algebraic K-theory of schemes and of derived categories, The Grothendieck Festschrift, vol. III, Progress in Mathematics, vol. 88, Birkhäuser Boston, Boston, MA, 1990, pp. 247–435. MR1106918 (92f:19001). ↩︎