$\mathrm{Gr}(f)$ 是同构当且仅当 $𝐟$ 是同构
证明
(同构的完备化等价于同构的分次态射.) $\mathrm{Gr}(f)$ 是同构当且仅当完备化态射 $𝐟$ 是同构.
今取 $f : F^p M → F^p N$.
- 若 $𝐟$ 是同构, 显然 $\mathrm{Gr}_∙(f) = \mathrm{Gr}_∙(𝐟)$ 也是同构.
- 若 $\mathrm{Gr}_∙(f)$ 是同构, 取 $\varprojlim_l \frac{F^p}{F^{p + l}} = 𝐅^p$. 函子 $\varprojlim$ 保持同构, 故 $𝐟$ 也是同构.