前五项
证明
(重要应用: 前五项正合列). 若 $E_2$ 落在第一象限 (或第三象限), 则有五项短正合列 \begin{equation} \color{cyan}0 → \color{red}E_2^{1,0} → \color{red}H^1 → \color{red}E_2^{0,1} → \color{Green}E_2^{2,0} → \color{Green}H^2. \end{equation}
考虑如下 $E_2$:
以上
- $H^0$ 的滤过仅有一项, $E_2^{0,0}$.
-
$H^1$ 的滤过仅有两项, 此时有 ses
$$ 0 → E_2^{1,0} → H^1 → \ker [E_2^{0,1} → E_2^{2,0}] → 0. $$
-
$H^2$ 的滤过有 $3$ 项, 此时有左正合列
$$ 0 → \operatorname{cok}[E_2^{0,1} → E_2^{2,0}] → H^2 → E_2^{1,1}. $$
拼接短正合列, 得五项正合列.