五引理
证明
(单四引理). 给定上下正合列之间的态射, 若相应的竖向实箭头是单射与满射, 则虚线处是单射.
计算 ker-复形与 cok-复形如下:
依照正合复形间的态射, $!$ 处的同调群等于 $0$ 处的同调群. 从而 $! = 0$, 即虚线处态射单.
(满四引理). 给定上下正合列之间的态射, 若相应的竖向实箭头是单射与满射, 则虚线处是满射.
计算 ker-复形与 cok-复形如下:
依照正合复形间的态射, $!$ 处的同调群等于 $0$ 处的同调群. 从而 $! = 0$, 即虚线处态射满.
(五引理). 给定上下正合列之间的态射, 若相应的竖向实箭头是单射, 满射以及同构, 则虚线处是同构.
计算 ker-复形与 cok-复形如下:
依照正合复形间的态射, $!$ 处的同调群等于 $0$ 处的同调群. 从而 $! = 0$, 即虚线处态射是同构.