四引理 (推出拉回)
证明
给定交换方块, 则有如下链复形
则下图四行正合:
等价地, 下图横行与螺旋线均正合:
(拉回方块判定准则). 特别地, 以下条件等价:
- 方块是拉回;
- $H^{-1}(T)=H^0(T)=0$, 即 $0\to A\to B\oplus C\to D$ 正合;
- $\ker(g)\simeq \ker(h)$ 且 $\mathrm{coker}(h)\to \mathrm{coker}(g)$ 是单射;
- $\ker(k)\simeq \ker(f)$ 且 $\mathrm{coker}(f)\to \mathrm{coker}(k)$ 是单射.
(推出方块判定准则). 对偶命题略.
模范畴中, 单射的拉回是单的, 满射的拉回是满的, 同构的拉回是同构.
(拉回方块的合成律, 该结论对一般范畴亦成立). 给定交换图
$$ \begin{bmatrix} \bullet & \rightarrow & \bullet & \rightarrow & \bullet \\ \downarrow & [ 1] & \downarrow & [ 2] & \downarrow \\ \bullet & \rightarrow & \bullet & \rightarrow & \bullet \end{bmatrix}. $$
若 $[2]$ 是拉回方块, 则 $[1]$ 是拉回方块当且仅当 $[1]\cup [2]$ 是拉回方块.
依照拉回方块判定准则之第三条, $\ker$ 层面的二推三显然, 下仅需验证 $\mathrm{coker}$ 层面. 回顾熟知结论: 若 $g$ 是单射, $g\circ f$ 可复合, 则 $g\circ f$ 单当且仅当 $f$ 单.