同调代数基本定理
同调代数基本定理
(同调代数基本定理). 以下是三种常见形式.
- (通常形式). 给定上链复形 (dg-模) 的正合列 $0 → K → X → Q → 0$, 此时有长正合列 \begin{equation} \cdots → H^{p-1} (Q) → H^p (K) → H^p (X) → H^p (Q) → H^{p+1} (K) → \cdots. \end{equation}
- (同伦形式). 给定复形态射 $f : X → Y$, 取全复形 $E : = \mathrm{Cone}(f)$, 此时有长正合列 \begin{equation} \cdots → H^{p-1} (Y) → H^p (X) → H^p (E) → H^p (Y) → H^{p+1} (X) → \cdots. \end{equation}
- (正合复形的态射). 给定正合复形间的态射 $f : X → Y$, 则 $H^{p+1}(\ker) ≃ H^{p-1}(\mathrm{cok})$, 即蛇引理.
(通常的同调代数基本定理). 给定上链复形 (dg-模) 的正合列 $0 → K → X → Q → 0$, 取滤过 $X ⊃ K$, 记 $Q = \frac{X}{K}$. 此时
可以注意到, $E_2 = E_∞$. 拼凑短正合列 (右) 即得长正合列 (左):
(同伦版本的同调代数基本定理). 给定复形态射 $f : X → Y$, 选定二项滤过 $E:= \mathrm{Cone}(f) ⊃ Y$, 得谱序列
此时, $E_1$ 页的微分是 \begin{equation} H^∙(f): H^∙ (X) ↠ \frac{Z_X^∙}{f^{-1}(B_Y^∙)} ≃ \frac{f(Z^∙_X)}{B^∙_Y} ↪ H^∙(Y).
\end{equation} 将 $E_2$ 中全复形的滤过并入 $E_1$, 得长正合列
(复形态射基本定理). 给定复形态射 $f : X → Y$, 取全复形 $E : = \mathrm{Cone}(f)$, 以下分别计算两个朝向的谱序列.
- ($d_0 = f$). 此时 $E_∞ = E_3$, 故 $E_2$ 给出长正合列
此处, 定义 $0 → \ker^∙ → X^∙ → Y^∙ → \mathrm{cok}^∙ → 0$.
- ($d_0 = d_X, d_Y$). 此时 $E_2$ 给出同伦范畴的同调代数基本定理. \begin{equation} \cdots → H^{p-1}(E) → H^{p}(X) → H^{p}(Y) → H^p(E) → \cdots. \end{equation} 整合得两条长正合列
特别地,
- 若 $f$ 是单的或满的, 则第二行退化, 得同调代数基本定理;
- 若 $X$ 或 $Y$ 一者是正合复形, 则第一行退化, 得无名定理;
- 若 $X$ 或 $Y$ 均正合, 则 $H^{p+1}(\ker) ≃ H^{p-1}(\mathrm{cok})$, 得蛇引理.