Grothendieck 谱序列
证明
(Grothendieck 函子的基本资料). 给定 Abel 范畴间的右正合函子 \begin{equation} 𝒜\xrightarrow F ℬ \xrightarrow G 𝒞. \end{equation} 称 $(F, G)$ 是右正合 Grothendieck 谱序列的基本资料, 若
- 范畴有足够投射对象;
- 对任意 $P ∈ 𝒫_A$, 对象 $F(P) ∈ ℬ$ 关于 $L_{≤ -1}G$ 消失.
类似地, 可以规定左正合 Grothendieck 谱序列的基本资料.
为与上链复形配合, 对固定的 $n ∈ ℕ_{≥ 0}$, 以下选用 $L_{-n}F$ 表示 $F$ 的 $n$ 次左导出; 选用 $R^{n}F$ 表示 $F$ 的 $n$ 次右导出. 简单地说,
- 将右导出写至上标, 例如 $R^{≥ 0} F$.
- 将左导出写至下标, 例如 $L_{≤ 0} G$.
(Grothendieck 谱序列定理). 给定右正合的 Grothendieck 谱序列资料, 则存在第三象限的谱序列 $E$, 使得
\begin{equation} E_2^{p,q} = L_{-p}G (L_{-q} F(X)) ⇒ (L_{-(p+q)} (G ∘ F)) (X). \end{equation}
相应地, 对于左正合 Grothendieck 谱序列, 存在第一象限的谱序列 \begin{equation} E_2^{p,q} = (R^p G) ∘ (R^q F) ⇒ R^{p+q} (G ∘ F). \end{equation}
只证明右正合情形. 取投射分解 $Q^{≤ 0} → X$ 与 EC 分解 $P^{≤ 0, ≤ 0} → F(Q^{≤ 0})$, 得
此处 $P$ 是横行可裂的, 同调群恰是 $R^∙FX$ 的投射分解. 以下计算 $G(P)$ 的双向谱序列.
(横向 $E_0$).
依照 EC 分解, 横向同调群是直和项. 同时, $H_→ ^{p, ∙}(P)$ 是 $L_pFX$ (即 $H^p(F(Q^∙))$) 的投射分解.
(横向 $E_1$).
计算 $E_2$ 时, 只需按部就班地取 $L_pFX$ 关于 $G$ 的导出对象.
(横向 $E_2$).
往后将重点关注以上黄色箭头.
横向谱序列的计算较为简单, 因为必要的假定
- 对任意 $P ∈ 𝒫_A$, 对象 $F(P) ∈ ℬ$ 关于 $L_{≤ -1}G$ 消失.
使得 $E_1$ 退化. 以下一气呵成地计算纵向 $E_{0,1,2}$.
纵向计算得全复形的同调群, 将其插入横向谱序列, 得
前五项
以上黄色位置对应五项长正合列
\begin{equation} L_2(GF) → (L_2G)F → G(L_1F) → L_1(GF) → (L_1G)F → 0. \end{equation}
对应地, 对右导出的复合, 有前五项正合列 \begin{equation} 0 → (R^1G)F → R^1(GF) → (R^1F)G → (R^2 G)F → R^2(GF). \end{equation}
作为特例, 有 Kunneth 谱序列.
特殊情形
(前五项可延续的充分条件). 若 Grothendieck 谱序列的内侧函子的第二次导出为 $0$ ($F^2 = 0$), 则 $E_2 = R^pG(R^qF(-))$ 变成两列. 将同调群 $R^∙ (GF)$ 插入 $E_2$, 得三周期长正合列
$$ \begin{aligned} 0 &→ GF^1 → (GF)^{1} → G^{2}F\\[6pt] & → \cdots \\[6pt] &→ G^kF^1 → (GF)^{k+1} → G^{k+1}F\\[6pt] &→ G^{k+1}F^1 → (GF)^{k+2} → G^{k+2}F \\[6pt] &→ \cdots. \end{aligned} $$
对左导出的类似表述略.
(ses). 若 Grothendieck 谱序列的外侧函子的第二次导出为 $0$ ($G^2 = 0$), 则 $E_2 = R^pG(R^qF(-))$ 变成两行. 将同调群 $R^∙ (GF)$ 插入 $E_2$, 得三周期长正合列
$$ \begin{aligned} 0 & → GF^1 → (GF)^{1} → 0\\[6pt] 0 & → GF^1 → (GF)^{1} → G^{1}F → 0\\[6pt] & \cdots \\[6pt] 0 & → GF^{k+1} → (GF)^{k+1} → G^{1}F^k → 0 \\[6pt] & \cdots \\[6pt] \end{aligned} $$
前五项态射的描述
以下给出 Grothendieck 谱序列中 $E_2$ 的态射, 以 \begin{equation} 0 → (R^1G)F → R^1(GF) → G(R^1F) → (R^2G)F → R^2(GF) \end{equation} 为例.
- 态射 $(R^pG)FX → R^p(GF)X$ 由投射分解诱导的复形态射 $F[X → I] ⇒ [FX → J]$ 给出:
此处 $H^p (G(θ)) : (R^pG)FX → R^p(GF)X$.
- 态射 $R^p(GF) → G(R^p F)$ 由 Kan 延拓的泛性质给出:
特別地, 自然变换 $α : (GF)^∙ ⇒ DG ∘ (R^∙ F)$ 给出 \begin{equation} H^p(α_X) : (GF)^p X→ G(F^p X). \end{equation}
- 态射 $G(R^1 F)X → (R^2 G)(FX)$ 由內射分解 $FI^∙ → J^∙$ 作用 $G$ 后给出. 特別地, 所谓的维数移动来自以下错位的投射分解交换图:
谱序列将这些貌合神离的东西联系在一起.