左遗传但非右遗传环的例子

下证明右理想 $I := \binom{O \ \ O}{ℚ \ \ O}$ 非投射. 考虑环同态

$$\begin{equation} φ : \binom{ℤ \ \ O}{ℚ \ \ ℚ} ↠ ℤ,\quad \binom{a \ \ 0}{b \ \ c} ↦ a. \end{equation}$$

若 $I$ 投射, 也就是 $R^{(λ)}$ 的直和项, 作用加法函子 $(-) ⊗ _R\frac{R}{\ker φ }$, 得 $\frac{I}{I ⋅ (\ker φ )} ≃ ℚ$ 是 $\frac{R^{(λ)}}{R^{(λ)} ⋅ (\ker φ )} ≃ ℤ^{(λ)}$ 的直和项. 显然 $ℚ$ 不是投射 $ℤ$-模, 矛盾.
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见此书 Proposition 1.17. 做法是对所有左理想逐一分类并验证.