遗传范畴的 $\mathrm{Hom}_{D𝒜}(-,-)$.

给定上链复形 $(X^∙, d^∙)$. 考虑 $X^n$ 附近的交换图

$$ \begin{bmatrix} r_{1} : & \cdots & \rightarrow & X^{n-2} & \rightarrow & X^{n-1} & \xrightarrow{d^{n-1}} & X^{n} & \xrightarrow{d^{n}} & X^{n+1} & \rightarrow & \cdots \\ \uparrow & & & \uparrow & & \parallel & ⊠ & \uparrow & & \uparrow & & \\ r_{2} : & \cdots & \rightarrow & 0 & \rightarrow & X^{n-1} & \hookrightarrow & E & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \cdots \\ \Downarrow & & & \Downarrow & & \Downarrow & & \Downarrow & & \Downarrow & & \\ r_{3} : & \cdots & \rightarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & H^{n}( X) & \rightarrow & 0 & \rightarrow & \cdots \end{bmatrix}. $$

此处, 交换方块 $⊠$ 内部如下 ($▦$ 是推出拉回):

$$ ⊠ = \begin{bmatrix} X^{n-1} & = & X^{n-1} & \xrightarrow{d^{n-1}} & X^{n}\\ \parallel & & ↡ & & \uparrow \\ \parallel & & \operatorname{im} d^{n-1} & ↪ & \ker d^{n}\\ \parallel & & ↟ & ▦ & ↟ \\ X^{n-1} & = & X^{n-1} & \rightarrow & E \end{bmatrix}. $$

特别地, $r_2 ⇒ r_3$ 是拟同构, $r_2 → r_1$ 仅投影 $X^n$ 处同调群. 将 $r_2$ 取遍所有 $X^k ↪ E'$, 得拟同构

$$ X^∙ ⇐ ∑\limits_k [X^k ↪ E'] ⇒ H^∙ (X). $$