$\dim M$ 与 $\dim (T,M)$

使用数学归纳法.

1. 假定 $p.\dim M = 0$. 此时 $M$ 投射. 由 $M ∈ \mathrm{Gen}(T)$ 知 $M ∈ 𝐚𝐝𝐝(T)$. 因此 $p.\dim (T,M) = 0$.

2. 假定 $p.\dim M = 1$. 取右逼近的 ses $θ : 0 → K → T^n → M → 0$ 使得 $K ∈ 𝒯$. 此时 $(T, θ)$-正合, 只需证明 $K ∈ 𝐚𝐝𝐝(T)$. 等价地, $\mathrm{Ext}^1(K, 𝒯) = 0$, 考虑以下 ses 即可:

   $$ 0 → \underset{\text{ses}}{\underbrace{(M, 𝒯) → (T^n, 𝒯) → (K, 𝒯)}} → {}^1(M, 𝒯) → {}^1 (T^n, 𝒯) = 0. $$

3. (归纳). 假定 $p.\dim M = n+1 ≥ 2$, 只需证明 $p.\dim (T,K) ≤ n$. 由归纳假设, 只需证明 $p.\dim K ≤ n$. 由

   $$ 0 → \underset{p.\dim = ?}{\underbrace{K}} → \underset{p.\dim ≤ 1}{\underbrace{T^n}} → \underset{p.\dim = n + 1}{\underbrace{M}} → 0, $$

   因此 $p.\dim K = p.\dim M - 1 = n + 1$.

关于取等条件的讨论如下.

1. $p. \dim M = 0$ 时 $p. \dim (T, M) = 0$.
2. $p.\dim M = 1$ 时 $p.\dim (T,M) ∈ \{0,1\}$. 例如取 $M = T ∉ 𝐩𝐫𝐨𝐣$, 则 $p.\dim T = 1$ 但 $p.\dim (T, M) = 0$.

3. $p.\dim M = n ≥ 2$ 时 $p.\dim (T, M) ≥ 2$: 考虑函子的正合列:

   $$ \mathrm{Ext}{}^1 (M, -)→\mathrm{Ext}{}^1 (T^n, -)→\mathrm{Ext}{}^1 (K, -)→ \mathrm{Ext}{}^2(M, -) → 0 → \cdots. $$

   以及

   $$ \cdots → 0 → \mathrm{Ext}{}^{k} (K, -) ≃ \mathrm{Ext}{}^{k+1} (M, -) → 0 → \cdots\quad (k ≥ 2). $$

   此时 $\mathrm{Ext}{}^{1,\ldots, n-1} (K, -) ≠ 0$, 但 $\mathrm{Ext}{}^n(K, -) =0$.