$\dim A$ 与 $\dim \mathrm{End}(T_A)$

任取 $B$-模 $X$, 此时存在投射模 $P$ 使得有 ses $$ 0 → K → P → X → 0 $$ 由 $P ∈ 𝒴 = (T,𝒯)$ 属于 torsion-free class, 此时子对象 $K ∈ 𝒴$. 不妨假定 $K = (T, M)$, 满足 $M ∈ 𝒯$. 由此定理, 得

$$ p_B.\dim K = p_B.\dim (T,M) ≤ p_A. \dim M ≤ gl.\dim A. $$

因此 $p_B.\dim X - 1 ≤ gl.\dim A$. 取左式 $\sup$, 得 $gl.\dim B ≤ gl.\dim A + 1$.

由 $\mathrm{End}(_BT) ≃ A$, 得

$$ gl.\dim A ≤ gl.\dim \mathrm{End}(_BT) ≤ gl.\dim B + 1. $$

综上, $|gl.\dim A - gl.\dim B|≤ 1$.