马蹄引理
证明
给定对象类 $𝒳$.
- 称存在足够 $𝒳$ 出发的满态射, 若对任意 $M ∈ 𝒜$, 总存在 $X ∈ 𝒳$ 使得有满态射 $X ↠ M$;
- 称存在足够 $𝒳$ 收尾的单态射, 若对任意 $N ∈ 𝒜$, 总存在 $X ∈ 𝒳$ 使得有单态射 $N ↪ X$.
例如对有余集和生成子 $U$ 的范畴, 总有满态射 $∐_{(U,X)} U ↠ X$, 因此 $𝒳 := U^{∐ \mathrm{Sets}}$ 提供了足够满射. 余生成子类似.
(相对版本的马蹄引理). 假定存在足够 $𝒳$ 出发的满态射, 任意 ses 存在可裂 $𝒳$-复形的相对投射分解.
下构造归纳步骤. 取定 ses \begin{equation} 0 → L \xrightarrow ι M \xrightarrow π N → 0. \end{equation} 取 $p : P ↠ L$ 与 $q : Q ↠ M$, 此时有
这就完成了归纳.
(相对版本的马蹄引理). 假定存在足够 $𝒳$ 收尾的单态射, 任意 ses 存在可裂 $𝒳$-复形的相对内射分解.
对偶.
推广见 EC 分解.