Kunneth 谱序列

Chencheng Zhang
April 28, 2025

Kunneth 谱序列的证明

称上链复形 $X$

是正 (负) 的, 若其支撑在 $ℕ_+$ ($ℕ _-$) 上;
是 $𝒳$-的, 若 $X$ 在对象类 $𝒳$ 中取值.

(Kunneth 谱序列定理, 证明). 记 $A$ 与 $C$ 均是负复形, 一者平坦, 则有

$$ E^{p,q}_2 = ∐\limits_{s + t = q} \mathrm{Tor}_p (H^s(A), H^t(C)) ⇒ H^{p+q} (\mathrm{Tot}(A⊗C)). $$

假定 $C$ 平坦, $F → A$ 是平坦分解, 考虑双复形

$$ M^{p,q} := ∐\limits_{i +j = p}(F^{q,i}⊗ C^j) $$

$q$-向微分由 $F → A$ 直接给出, 形如 $∐\limits_{i +j = p}(d_F^{q,i} ⊗ C^j)$.
$p$-向微分描述如下: 取定 $A^∙$ 的高度为 $q$ 的分解 $F^{q, ∙}$, 计算双复形 $F^{q, ∙} ⊗ C^∙$ 的全复形.

(计算 $q$-向谱序列). $q$-向微分与正合函子 $- ⊗ C^j$, $∐\limits$ 交换. 从而

$E_1^{∙,0} = \mathrm{Tot}(A ⊗ C)$, 剩余横行 $E_1^{∙ , ≠ 0} = 0$;
$E_2 = E_∞$, $E_2^{∙,0} = H^∙ (A ⊗ C)$, 剩余横行 $E_2^{∙ , ≠ 0} = 0$.

(计算 $p$-向谱序列).

($E_0$). 直接地,
($E_1$). 为计算 $E_1$, 今假定 $F → A$ 是 EC 分解, 从而 $F^{k, ∙}$ 是可裂复形. 特别地, 以下全复形同调群相同:

$$ (F^{k, ∙} ⊗ C^∙, \ d^C_→ , \ d^F_↑) ⇒ (H_↑(F^∙) ⊗ C^∙, \ d^C_→ ,\ d_↑ = 0). $$

这说明 $E_1^{p,q} = ∐\limits _{i+j = p} (H_↑{q,i}(F)⊗H^j(C))$:
($E_2$). 依照 EC 的构造, $H_↑(F^{q, ∙})$ 是 $H^q(A)$ 的平坦分解:

记 $A$ 是负复形, $C$ 是正复形, 假定 $A$ 投射或 $C$ 内射, 则存在第一象限谱序列

$$ E_2 ^{p,q} = ∐\limits_{s + t = q} \mathrm{Ext}^p (H^{-s}(A), H^{t}(C)) ⇒ H^{p+q} (ℋ(A,C)). $$

对偶命题证明略.

Kunneth 谱序列的推论

(前五项). 仍选用 $\mathrm{Tor}$ 版本的 Kunneth 谱序列, 则有五项右正合列:

$$ \begin{aligned} H^{-2}(A ⊗ C) & → \mathrm{Tor}_2(H^0(A), H^0 (C)) → \\[6pt] & → H^{0}(A) ⊗ H^{-1} (C) ⊕ H^{-1}(A) ⊗ H^{0} (C) → \\[6pt] & → H^{-1}(A ⊗ C) → \mathrm{Tor}_1(H^0(A), H^0 (C)) → 0. \end{aligned} $$

$E_2$ 的前五项将满足 $E_3 = E_∞$, 将同调群插入微分得五项长正合列

($\mathrm{Tor}_{≥ 2}$ 消失, Kunneth 公式). 若 $\mathrm{Tor}_{≥ 2}$ 消失, 则 $E_2$ 是 $∞ × 2$ 规格的. 此时有一串 ses

$$ ∐\limits _{i+j = p-1}(H^i(A) ⊗ H^j (C)) → H^{p}(A ⊗ C) → ∐\limits _{i+j = p}\mathrm{Tor}_p(H^i(A), H^j (C)). $$

此处 $p ≤ -1$. 这就是 Kunneth 公式.

($H$ 在二次导出函子中消失的充分条件). 若 $A$ 与 $\mathrm{im}(d_A)$ 各项满足

$\mathrm{Tor}_{≥ 1}(A,-), \mathrm{Tor}_{≥ 2}(\mathrm{im}(d_A),-)$ 消失, 则 $\mathrm{Tor}_{≥ 2}(H,-)$ 消失;
$\mathrm{Ext}_{≥ 1}(A,-), \mathrm{Ext}_{≥ 2}(\mathrm{im}(d_A),-)$ 消失, 则 $\mathrm{Ext}_{≥ 2}(H,-)$ 消失;
$\mathrm{Ext}_{≥ 1}(-,A), \mathrm{Ext}_{≥ 2}(-,\mathrm{im}(d_A))$ 消失, 则 $\mathrm{Ext}_{≥ 2}(-,H)$ 消失.

仅证明第一个命题, 后两个命题的证明类似. 考虑 $0 → \mathrm{im} → A → \mathrm{cok} → 0$ 关于 $\mathrm{Tor}$ 的导出长正合列, 得 $\mathrm{coker}$ 平坦. 继而考虑 $0 → H → \mathrm{cok} → \mathrm{im} → 0$ 的导出长正合列, 得 $\mathrm{Tor}_{≥ 2}(H, - )$ 消失.