外三角范畴的商

依次验证 ET1 至 ET4. 统一用上划线表示商 Hom 与商群中的的态射.

1. (ET1). 对象层面, $\overline 𝔼 (Z,X) := 𝔼 (Z,X)$. 态射层面, $\overline{f_∗} := \overline f _∗$, 以及 $\overline {g^∗} := \overline g^∗$.
   • 由 $𝔼 (𝐏𝐫𝐨𝐣 , -)$ 与 $𝔼 (-, 𝐈𝐧𝐣 )$ 消失, 故 $𝔼$ 将 $\ker [\mathrm{Hom} → \underline{\mathrm{Hom}}]$ 映至 $0$, 进而可定义在 $(𝒞 / 𝒳)^{\mathrm{op}} × (𝒞 / 𝒳)$ 上. 由加法商, 以上定义的 $\overline 𝔼$ 确实是加法双函子.
2. (ET2). 定义对应 $\overline 𝔰 : \overline 𝔼 (Y,X) = 𝔼 (Y,X) → [Y,X] / ∼$. 其中, $[Y,X] / ∼$ 中对象形如 $[X \xrightarrow{\overline f} Y \xrightarrow{\overline g} Z]$. 这一对应仅是对象间的 (自始至终未要求 $𝔰$ 函子). 下验证 $\overline 𝔰$ 是 $(𝒞 / 𝒳 , \overline 𝔼 )$ 的加法实现.
   • 对应 $[Y, X] → [Y, X] / ∼$ 保持直和结构, 从而 $\overline 𝔰$ 保持零 (可裂短正合列) 以及映射链的直和.
   • 继而证明 $\overline 𝔰$ 是 $𝒞 / 𝒳$ 是加法实现, 关键是局部二推三. 给定商范畴的交换图
     
     
     

     其上下横行是 $𝔼$ 中对象所在的等价类, 也就是某两个 $𝔼$-三角的像, 选定这两个 $𝔼$-三角. 由长正合列, 上下复合为 $0$, 因此任取 $a$ 与 $c$ 均能得到 $𝒞$ 中交换图. 由 $𝔰$ 是实现, 添加合适的 $Y → Y'$ 使得以上是 $𝒞$ 中交换图, 再放至 $𝒞 / 𝒳$ 中看即可.

3. (ET3). ET3’ 的证明是对偶的 (使用投射对象的性质). 对 ET3, 任取商范畴的交换图
   
   
   

   原范畴中, 态射 $(x'a - bx)$ 通过内射对象 $I$ 分解. 原范畴中有 $𝔼$-三角的交换图

   
   
   
   

   我们仅知道 $\binom xi$ 是 inflation, 我们需要将问好处的对象以及 deflation 取得好一些. 依照 EX3 类似物, 构造四个 $𝔼$-三角的交换图:

   
   
   
   

   由 $I$ 是内射对象, 右侧正合列可裂, 不妨取作直和项 (仅需调整 $B ⊕ I → C ⊕ I$ 处态射). 简单计算得

   
   
   
   

   其中, $r$ 是待定的系数. 回归原态射图:

   
   
   
   

   左侧交换, 右侧方块与相差一个态射 $$\begin{equation} (y'b-cy, cyj-y'j): B ⊕ I → C. \end{equation}$$ 这一态射左侧经 $I$ 分解, 右侧亦然.

4. (ET4). 这是直接的. 取 $⊤$-型的两个 $\overline 𝔼$-三角, 找对应的 $𝔼$-三角. 在原范畴中使用 ET4, 得商范畴的 ET4.