$\dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯) - \dim \ [M] = \dim \mathrm{Ext}^1(M,M)$
证明
(关键公式, 证明). 以下关键公式联系了 Krull 维度与线性空间的维度.
$$ \dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯) - \dim \ [M] = \dim \mathrm{Ext}^1(M,M) = \dim \mathrm{End}(M) - q(𝐯). $$
对轨道的维度公式
$$ \dim G = \dim \ [M] + \dim \mathrm{Stab}_{M} $$
做一些调整:
- $\mathrm{Stab}_{M} = \mathrm{Aut}(M) ⊆ \mathrm{End}(M)$ 是稠密开集, 故维度相同;
-
Euler 型
$$ q(𝐯) = ∑ _{i ∈ Q_0} 𝐯_i^2 - ∑ _{α ∈ Q_1} 𝐯_{s(α )}⋅ 𝐯_{t(α )} = \dim G - \dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯); $$
-
遗传代数的 Euler 公式
$$ q(𝐯) = \dim \mathrm{End}(M) - \dim \mathrm{Ext}^1(M,M) $$
将以上带入 Krull 维度公式, 得关键公式.
$$ \dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯) - \dim \ [M] = \dim \mathrm{Ext}^1(M,M) = \dim \mathrm{End}(M) - q(𝐯). $$