Canonical Resolution of Quiver algebra
有限维代数的极小投射分解
$kQ$ 的标准分解
给定任意不带关系的路代数 $kQ$, 有限生成模 $M ∈ 𝐦𝐨𝐝_{kQ}$ 的极小投射分解是
$$ 0 → ⨁\limits_{α∈ Q_1}P(t(α))^{\dim M_{s(α)}} → ⨁\limits_{i∈ Q_0}P(i)^{\dim M_i} → M → 0. $$
此处 $P(i)^{\dim M_i} ↠ Me_i$ 是投射盖, 将 $e_i ∈ P(i)$ 对应至 $e_iM$ 的生成元.
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关于 $e_iM$ 的生成元, 可先取半单对象 ($X ↠ \mathrm{Top}(X)$)
$$ π : e_iM ↠ e_i M e_i. $$
对 $(\dim M_i)$-维线性空间 $e_iMe_i$ 的基任取一组 $π$ 下的原像即可.
由于 $X^𝒮$ 之类的式子并不能很好地反应生成元, 以下将极小投射分解改写作
$$ 0 → ⨁\limits_{α∈ Q_1}P(t(α)) ⊗_k e_{s(α)} M \xrightarrow ι ⨁ \limits_{i∈ Q_0}P(i) ⊗_k e_i M \xrightarrow π M → 0. $$
第一处态射蕴含了生成关系:
$$ i : p ⊗ m ↦ p ⊗ (a ⋅ m) - pa ⊗ m. $$
以上是杠消解.
定义: quiver with relation
称 $I$ 是 $kQ$ 的容许理想, 若存在 $N$ 使得
$$ \mathrm{Rad}^2(kQ) ⊇ I ⊇ \mathrm{Rad}^N(kQ). $$
这即是说, $I$ 中 relation 的长度至少是 $2$.
(Bound quiver). 称 $kQ / I$ 是 bound quiver, 若 $kQ$ 是有限维的, 且 $I$ 是容许理想.
单对象与 $\mathrm{Ext}$-群
往后记 $J:= \mathrm{Rad}(A)$ 是代数的 Radical, 也就是 $k ⋅ Q_1$ 生成的理想.
($\mathrm{Ext}^1(S(i), S(j))$). 对 $S(i)$ 作投射盖
$$ 0 → P(i) ⋅ J → P(i) → S(i) → 0. $$
作用 $(-, S(j))$, 得四项正合列
$$ 0 → (S(i), S(j)) → (P(i), S(j)) → (P(i) ⋅ J, S(j)) → \mathrm{Ext}^1(S(i), S(j)) → 0. $$
由 $\mathrm{Top}$ 的性质, 前两项是满的. 此时后两项是同构. 计算得
$$ \mathrm{Ext}^1(S(i), S(j)) ≃ (P(i) ⋅ J, S(j)) ≃ k^{|Q_1 (i → j)|}. $$
此处 $|Q_1 (i → j)|$ 是 $i → j$ 连边数量.
$\mathrm{Ext}^1(kQ_0, kQ_0) ≃ D(J / J^2)$.
特例: 对 $kQ = [1 → 2]$, 有典范短正合列
$$ θ : 0 → S(2) → P(1) → S(1) → 0. $$
此处 $\mathrm{Ext}^1(S(1), S(2)) = k ⋅ θ$.
对 bound quiver $(Q, I)$, 考虑一列滤过的右理想
$$ \cdots ⊆ I^{n + 1} ⊆ JI^n ⊆ \cdots ⊆ I ⊆ J ⊆ kQ. $$
此时得 $A$ 的投射分解
$$ \begin{bmatrix} & & \Omega _{3} & & & & \Omega _{2} & & & & \Omega _{1} & & & & \Omega _{0}\\[6pt]\hline \frac{JI}{JI^{2}} & & \rightarrow & & \frac{I}{I^{2}} & & \rightarrow & & \frac{J}{JI} & & \rightarrow & & \frac{kQ}{I} & \twoheadrightarrow & \frac{kQ}{J}\\ & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & & \nearrow & & \searrow & \parallel \\ & & \frac{JI}{I^{2}} & & & & \frac{I}{JI} & & & & \frac{J}{I} & & & & K \end{bmatrix}. $$
依次验证上述是投射分解. 记 $J^0 = kQ$.
- 关于短正合列, 往复使用同构定理 $\frac{A / C}{B / C} ≃ \frac{A}{B}$ 即可.
- 关于投射对象, 由 $kQ$ 遗传, 从而 $L ⊆ kQ$ 都是投射的, 因此是自由模的直和项. 由商保持直和项, 得 $\frac{L}{LI}$ 是投射 $\frac{kQ}{I}$-模.
特别地, $\mathrm{Ext}^1(K, K) ≃ D(J / J^2)$.
本质上, $K$ 无论作为 $kQ / I$ 模或是 $kQ$ 模, 其本质上都是 $kQ_0$-模. 因此, 前文结论仍适用.
$\mathrm{Ext}^2(K,K) ≃ D(\frac{I}{IJ+JI})$.
记 $A := kQ / I$. 由维数移位, 得
$$ \textstyle \mathrm{Ext}_A^2(K,K) ≃ (\frac I {JI}, (DK, k)_k)_A ≃ D(\frac I {JI} ⊗_A DK). $$
作为左 $A$-模, 半单模 $DK$ 即 $K$. 此时有正合列的交换图
$$ \begin{bmatrix} & & \frac{I}{JI} \otimes _{A}\frac{J}{I} & \rightarrow & \frac{I}{JI} \otimes _{A} A & \rightarrow & \frac{I}{JI} \otimes _{A} K & \rightarrow & 0\\ & & ↡ & & \parallel & & ⇣ & & \\ 0 & \rightarrow & \frac{IJ+JI}{JI} & \rightarrow & \frac{I}{JI} & \rightarrow & \frac{I}{IJ+JI} & \rightarrow & 0 \end{bmatrix}. $$
此处, 左侧的 $↡$ 是直接的乘法运算. 由同调代数, 诱导的余核处的态射 $⇣$ 是同构.
清晰地, $\dim \mathrm{Ext}^2(S(i), S(j)) = \dim e_j⋅ D(\frac{I}{IJ+JI})⋅ e_i$. 如何用自然语言刻画之?