投射模, 内射模在 Coxeter 反射下的表现
证明
投射模与内射模在完全 Coxeter 分解下的表现如下.
- 投射模经 $C^+$ 消失, 换言之, $C^+ P = 0$;
- 若 $C^+M = 0$, 则 $M$ 是投射模;
- $C^+C^-M$ 是不含投射对象的极大直和项;
- 内射模经 $C^-$ 消失, 换言之, $C^- I = 0$;
- 若 $C^-M = 0$, 则 $M$ 是内射模;
- $C^-C^+M$ 是不含内射对象的极大直和项.
只看前三条.
(1. 的证明). 不可分解投射对象 $P(i)$ 的支撑集是由 $i$ 向外的树, 从分支至主干地作用 $C^+_∙$ 即可 (并列的分支无关先后) 即可. 最后得内射单模 $S(i)$, 作用 $C^+_i$ 后归零. 由于 Coxeter 反射唯一, 故任意不可分解投射对象被 $C^+$ 零化.
(2. 的证明). 假定 $M ≠ 0$ 是不可分解模, 但 $C^+ M= 0$. 不妨记 $C^+ = C_1^+\cdots C_n^+$. 下归纳地证明所有 $C_{k}^+\cdots C_n^+ M$ 都是 $𝐫𝐞𝐩(C_{k}^+\cdots C_n^+ Q)$ 中的不可分解投射对象 (或零对象).
- (初始). 模在消失前的状态必然是下一反射作用位置的投射单对象. 存在极小的 $i$ 使得 $C_{i+1}^+\cdots C_n^+ M$ 是 $𝐫𝐞𝐩 (C_{i+1}^+\cdots C_n^+Q)$ 中的投射单对象;
- (归纳). 假定得到了 $C_{i+1}^+\cdots C_n^+Q$ 中的投射对象 $C_{i+1}^+\cdots C_n^+M$. 该图中, $i$ 是 sink, $(i+1)$ 是 source. 由等式 $$
C_{i+1}^-C_{i+1}^+\cdots C_n^+ M ≃ C_{i+2}^+\cdots C_n^+ M,
$$ 下证明 $M' := C_{i+1}^+\cdots C_n^+M$ 是投射对象即可.
- 若 $M' = P(i+1)$. 由于 $M' = C_{i+1}^+ N$ 是不可分解模, 则 $i+1$ 有且仅有一条出边. 此时
- 若不然, 则 $(M')_{i+1} = 0$, 因为 $(i+1)$ 是 source. 此时至多存在一个 $(i+1)$ 的邻点 $j$, 使得 $M_j ≠ 0$:
$C_{i+1}^-M$ 仍是投射对象.