$\varprojlim{}_{ℕ}^0 = \varprojlim{}_{ℕ}$
证明
(Abel 群的投射塔). 即预层 $\mathrm{PSh}(\mathbb N)$, 其对象 (函子 $M$) 表现做映射链 \begin{equation} \cdots \xrightarrow{m_2} M_2\xrightarrow{m_1} M_1\xrightarrow{m_0} M_0. \end{equation} 记 $m:\prod_{\mathbb N} M_k\to \prod _{\mathbb N}M_k,\quad (x_k)_{k\in \mathbb N}\mapsto (x_k-m_k(x_{k+1}))$ 由泛性质 $\{p_{k}m=m_{k+1}p_{k+1}\}_{k\in \mathbb N}$ 确立. 记正合列
\begin{equation} 0\to {\varprojlim}^0 M\to \prod_{\mathbb N} M\xrightarrow{1-m}\prod_{\mathbb N} M\to {\varprojlim}^1 M\to 0. \end{equation}
其中, $1-m$ 自动对应如下泛性质确立的序列 ($\oplus$ 强调了双积)
(证明). ${\varprojlim}^0 M:=\mathrm{ker}(m)=\varprojlim M$ 是通常的极限.
对任意对象 $X$, 总有同构 \begin{equation} (X, \varprojlim m) ≃ \varprojlim (X, m) \overset ⋆≃ \ker (X, m) ≃ (X, \ker m) ≃ (X, \varprojlim {}^0M). \end{equation} 此处, $⋆$ 处将 $(X, m)$ 对应作交换方块. 换言之一个 $\ker (X, m)$ 中的态射对应一族交换图
剩余的同构态射是自明的. 解释从略.