九引理 ($3 × 3$ 序列)
证明
(强 $3 × 3$ 引理). 对下图左或是下图右
若五排实线正合, 则虚线处 ($\ker$ 诱导的态射) 亦然.
另两张与 $\mathrm{cok}$ 相关的交换图同理.
不妨看下图右, 记 $∙ \overset a ⇢ ∙ \overset b ⇢ ∙$. 使用 $\operatorname{cok} a$ 取代 $b$ 的去向, 得交换图
由正合复形间的态射, $\operatorname {cok} a$ 向右项的嵌入是单的. 因此 $\operatorname{cok} a = \operatorname{coim} b$, 证毕.
(通常的 $3 × 3$ 引理). 给定 $3 × 3$ 短复形链的交换图
若其中五条短正合列正合, 则第六条亦然.
反复使用正合复形的链映射, 以及强 $3 × 3$ 引理即可.