预投射分支可能不唯一

($P_1$ 所在的预投射部分). 从投射模 $P_1 = [1 ∣ 0] 0 [0 ∣ 0]$ 开始, 下计算 $τ ⁻¹ P_1$:

$$ \begin{bmatrix} P_{1} & & I_{1} & & I_{2}^{2} & & \\ [ 1\mid 0]0[ 0\mid 0] & \hookrightarrow & [ 1\mid 2]0[ 0\mid 0] & \rightarrow & ([ 0\mid 1]1[ 0\mid 0])^{2} & & \\ & & ⇣ & & ⇣ & & \\ & & [ 1\mid 0]0[ 0\mid 0] & \hookrightarrow & ([ 2\mid 1]0[ 0\mid 0])^{2} & \rightarrow & [ 3\mid 2]0[ 0\mid 0]\\ & & P_{1} & & P_{2}^{2} & & \tau ^{-1} P_{1} \end{bmatrix} $$

以上过程同 Kronecker quiver 的预投射部分的计算, 因为一切极小内射分解仅与 $I_{1,2}$ 相关, 而 $P_{1,2}$ 在 $3,4,5$ 处维数为 $0$. 特别地, $P_{1,2}$ 在 $Γ(A)$ 中的连通分支是

这的确是预投射部分.

($P_3$ 不属于预投射分支). 以上给出 $P_{1,2,4,5}$ 所在的预投射部分. 计算得 $τ⁻¹ P_3 ≃ I_3$:

$$ \begin{bmatrix} P_{3} & & I_{2} \oplus I_{4} & & I_{3} & & \\ [ 0\mid 1] 1[ 1\mid 0] & \hookrightarrow & [ 0\mid 1] 2[ 1\mid 0] & \rightarrow & [ 0\mid 0] 1[ 0\mid 0] & & \\ & & ⇣ & & ⇣ & & \\ & & [ 2\mid 1] 0[ 1\mid 2] & \hookrightarrow & [ 0\mid 1] 1[ 1\mid 0] & \rightarrow & [ 0\mid 0] 1[ 0\mid 0]\\ & & P_{2} \oplus P_{4} & & I_{3} & & \tau ^{-1} P_{3} \end{bmatrix}. $$

计算 $I_5$ 所在的连通分支, 得

总之, 这不是预投射分支.