投射模所在的分支有环
(图, bound 路代数). 定义 $Q := [1 \overset a→ 2 \overset b {\underset c⇉} 3]$, $I = (ba)$. 此时 $kQ / I$ 是 bound 路代数. 使用 $a [b ∣ c]$ 表示维数向量.
以下单态射是不可约的:
$$ \begin{bmatrix} k & → & k & \overset{0}{\underset{1}{⇉ }} & k\\ ↑ & & ↑ & & ↑ \\ 0 & → & k & \overset{0}{\underset{1}{⇉ }} & k \end{bmatrix}. $$
这一态射右极小几乎可裂态射 $\mathrm{Rad}(P_1) → P_1$ (的直和项), 从而不可约.
计算非投射模 $0 → k \overset{0}{\underset{1}{⇉ }} k$ 的 AR 平移如下:
从而 $Γ(A)$ 存在环路 $M → P_1 ⇉ I_3, S_3 ⇉ M$.