$\varprojlim{}_{ℕ}^1$ 是右导出极限
证明
(Abel 群的投射塔). 即预层 $\mathrm{PSh}(\mathbb N)$, 其对象 (函子 $M$) 表现做映射链 \begin{equation} \cdots \xrightarrow{m_2} M_2\xrightarrow{m_1} M_1\xrightarrow{m_0} M_0. \end{equation} 记 $m:\prod_{\mathbb N} M_k\to \prod _{\mathbb N}M_k,\quad (x_k)_{k\in \mathbb N}\mapsto (x_k-m_k(x_{k+1}))$ 由泛性质 $\{p_{k}m=m_{k+1}p_{k+1}\}_{k\in \mathbb N}$ 确立. 记正合列
\begin{equation} 0\to {\varprojlim}^0 M\to \prod_{\mathbb N} M\xrightarrow{1-m}\prod_{\mathbb N} M\to {\varprojlim}^1 M\to 0. \end{equation}
其中, $1-m$ 自动对应如下泛性质确立的序列 ($\oplus$ 强调了双积)
${\varprojlim}^1$ 是 $\varprojlim$ 的右导出函子.
证明的关键: 构造内射对象 $M\hookrightarrow I$, 使得 $I$ 的位移算子是满的.
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记 $X_{\geq n}: \left[X=X=\cdots = X\to 0\to \cdots 0\right]$ ($n$ 个 $0$ 对象), 则有伴随函子
\begin{equation} (Y,X_{\geq n})_{\mathrm{PSh}(\mathbb N)}\simeq (Y_n, X). \end{equation}
- 特别地, 若 $I$ 是 Abel 群范畴的内射对象, 则 $I_{\geq n}$ 亦然 (右伴随保持内射对象).
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$X_{\geq n}$ 的位移算子是可裂满的. 例如对 $X_{\geq n}$, 其左逆元可以通过以下无穷阵的等式验证 (仍需要回溯一边泛性质的定义):
$$ \begin{pmatrix} 1 & & & \\ 1 & 1 & & \\ & 1 & 1 & \\ & & 1 & \ddots \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 & & & \\ & 1 & -1 & & \\ & & 1 & -1 & \\ & & & \ddots & \ddots \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & 1 & \\ & & & \ddots \end{pmatrix}. $$
- 记 $I(M_k)$ 是 $M_k$ 嵌入的内射对象, 则 $\prod (I(M_k))_{\geq k}$ 是 $M$ 嵌入的内射对象, 其 $(1-m)$-型算子也是可裂满 (直积正合).
构造内射分解 $0\to M\xrightarrow{\iota} I_\alpha\xrightarrow{\varphi_{\beta,\alpha}} I_\beta\xrightarrow{\varphi_{\gamma,\beta}} I_\gamma\to \cdots$. 依照定义, $\varprojlim$ 的一次右导出是 \begin{equation} (R^1\varprojlim)(M)=\frac{\ker (\varprojlim \varphi_{\gamma,\beta})}{\mathrm{im}(\varprojlim \varphi_{\beta,\alpha})}=\frac{\varprojlim (\ker \varphi_{\gamma,\beta})}{\mathrm{im}(\varprojlim \varphi_{\beta,\alpha})}. \end{equation} 对 $0\to M\to I_\alpha\to \ker (\varphi_{\gamma,\beta})\to 0$ 使用正合的直积, 使用蛇引理得长正合列 \begin{equation} 0\to \varprojlim M\xrightarrow{\iota} \varprojlim I_\alpha\xrightarrow{\varphi_{\beta,\alpha}} \varprojlim \ker(\varphi_{\gamma,\beta})\to {\varprojlim}^1 M\to 0. \end{equation} 其余核项等于 $R^1\varprojlim$, 因此 ${\varprojlim}^1$ 确实是 ${\varprojlim}$ 的右导出.