Tilting 对象与 torsion pair
证明
(Tilting 对象与 torsion pair, 证明). 对 tilting 对象诱导的 torsion pair $(𝒯, ℱ)$.
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对任意 $M ∈ 𝒯$, 存在满的右 $𝐚𝐝𝐝 (T)$-逼近 $T^n ↠ M$ 使得
$$ 0 → K → T^n → M → 0 \quad ∈ 𝒯. $$
- $(^⟂𝒯) ∩ 𝒯 = 𝐚𝐝𝐝(T)$, 即 $𝒯 ∩ τ ^{-1} ℱ = 𝐚𝐝𝐝(T)$.
一般地, 只有 $(^⟂𝒯) ∩ 𝒯 = 𝒯 ∩ τ ^{-1} ℱ$.
- $M ∈ 𝒯$ 当且仅当配对 $(T, M) ⊗ T → M$ 是同构.
一般地, $M ∈ 𝒯$ 当且仅当配对 $(T, M) ⊗ T ↠ M$ 是满的.
给定 tilting 对象诱导的 torsion pair $(𝒯, ℱ)$. 对任意 $M ∈ 𝒯$, 存在满的右 $𝐚𝐝𝐝 (T)$-逼近 $T^n ↠ M$ 使得
$$ 0 → K → T^n → M → 0 \quad ∈ 𝒯. $$
先构造右逼近. 取有限集 $𝒮 = (f_i)$ 为 $(T,M)$ 的生成元, 此时
$$ T^𝒮 → M, \quad t ↦ ∑ f_i(t_i), $$
与 $\mathrm{End}(T)^n ↠ (T,M)$ 都是满态射.
依照长正合列, $\mathrm{Ext}^1(T,K) = 0$, 从而 $K ∈ T^⟂ = 𝒯$.
给定 tilting 对象诱导的 torsion pair $(𝒯, ℱ)$. $(^⟂𝒯) ∩ 𝒯 = 𝐚𝐝𝐝(T)$, 即 $𝒯 ∩ τ ^{-1} ℱ = 𝐚𝐝𝐝(T)$.
下证明 $({}^⟂ 𝒯) ∩ 𝒯 = 𝐚𝐝𝐝 (T)$.
- 一方面, $𝐚𝐝𝐝 (T) ⊆ {}^⟂ 𝒯 = {}^⟂ (T^⟂)$.
- 另一方面, 若 $X ∈ ({}^⟂ 𝒯) ∩ 𝒯$, 考虑满的极小右-$𝐚𝐝𝐝(T)$ 逼近, 得 $𝒯$ 中的 ses
$$ 0 → K → T^n → X → 0\quad ∈ 𝒯. $$
由假定, $\mathrm{Ext}^1(X, K) = 0$. 从而上述 ses 可裂.
给定 tilting 对象诱导的 torsion pair $(𝒯, ℱ)$. $M ∈ 𝒯$ 当且仅当配对 $(T, M) ⊗ T → M$ 是同构.
最后证明 $M ∈ 𝒯$ 时, 配对 $(T, M) ⊗ T → M$ 是同构. 类似此证明, 取 $(T,-)$-右正合列
$$ T_1 → T_0 → X → 0. $$
此时, 有右正合列的交换图
$$ \begin{bmatrix} (T,T_1) ⊗ T & → & (T,T_0) ⊗ T & → & (T,X) ⊗ T & → & 0\\ ∥ & & ∥ & & ↓ & & \\ T_1 & → & T_0 & → & M & → & 0. \end{bmatrix}. $$
由五引理, $(T,X) ⊗ T → X$ 是同构.