合冲-逼近伴随 (稳定范畴中)
(逼近与合冲在稳定范畴中伴随). $Ω_∙$ 与 $C_∙$ 是稳定投射范畴的伴随函子; $℧^∙$ 与 $K^∙$ 是稳定内范畴的伴随函子.
- $C_k: \underline{𝐦𝐨𝐝_A} ⇆ \underline{𝐦𝐨𝐝_A} : Ω_k$ 是左右伴随.
- $℧^k: \overline{𝐦𝐨𝐝_A} ⇆ \overline{𝐦𝐨𝐝_A} : K^k$ 是左右伴随.
- $C_k ≃ \mathrm{Tr}(Ω_k(\mathrm{Tr}))$.
- $K^k ≃ τ(℧^k(τ⁻¹))$.
对前两条, 仅证明第一处 $k=1$ 的情形. 考虑以下两条横向正合列 (原范畴中): $$ \begin{bmatrix} M & → & F( M) & ↠ & C( M)\\ h⇣ \ & & g⇣ \ & & f⇣ \ \\ Ω ( N) & → & P( M) & ↠ & N \end{bmatrix}. $$ 若有 $f$, 则投射盖 $P_0(N) ↠ N$ 诱导了 $g$, 核的泛性质诱导了 $h$. 若有 $h$, 则左逼近的泛性质诱导了 $g$, 余核的泛性质诱导了 $f$. 之后说明在稳定范畴中, 以上对应 $f ↔ h$ 是双射.
- 给定 $f$, 假定存在满足条件的 $g_1 ≠ g_2$, 则 $(g_1 - g_2)$ 通过 $Ω_1(N)$ 分解. 依照泛性质, $h_i$ 唯一决定, 且 $(h_1 - h_2)$ 通过 $F(M)$ 分解. 这说明由 $f$ 决定的一族 $\{h_i\}$ 在稳定范畴中相等.
- 给定 $h$, 假定存在满足条件的 $g_1 ≠ g_2$, 则 $(g_1 - g_2)$ 通过 $C(M)$ 分解. 依照泛性质, $f_i$ 唯一决定, 且 $(f_1 - f_2)$ 通过 $P_0(N)$ 分解. 这说明由 $h$ 决定的一族 $\{f_i\}$ 在稳定范畴中相等.
特别地, 右伴随函子 $C(-)$ 无关逼近的选取.
对后一命题, 仅证明 $C(-) = \mathrm{Tr}(Ω_1(\mathrm{Tr}(-)))$. 给定左逼近对应的右正合列
$$ M → Q → C(M) → 0, $$
取任意投射表现 (不必极小) 诱导的四项正合列
$$ 0 → M^∗ → P_0^∗ \overset α → P_1^∗ → \widetilde{\mathrm{Tr}(M)} → 0. $$
注意到 $\operatorname{im}α$ 与 $Ω_1(\mathrm{Tr}(M))$ 在稳定范畴中相等, 而
$$ \operatorname{coim}α = \operatorname{cok}[M^∗ ↪ P_0^∗] = \operatorname{cok}[Q^∗ ↠ M^∗ ↪ P_0^∗] $$
由 $C(M) = \operatorname{cok}[P_0 ↠ M → Q]$, 从而 $\mathrm{Tr}(C(M))$ 与 $\operatorname{coim}α$ 在稳定范畴中同构. 最后由 $\mathrm{Tr}$ 是稳定等价, 得
$$ Ω_1(\mathrm{Tr}(M)) ≃ \operatorname{im}α ≃ \operatorname{coim}α ≃ \mathrm{Tr}(C(M))\quad \text{稳定范畴中}. $$
因此 $C_k ≃ \mathrm{Tr}(Ω_k(\mathrm{Tr}))$ (稳定范畴中).
$$ \begin{bmatrix} & & & & \widetilde{Ω _{1}\widetilde{\mathrm{Tr}( M)}} & & & & \\ & & & ↗ & ∥ & ⤥ & & & \\ M^{*} & ↪ & P_{0}^{*} & ↠ & \operatorname{(co)im}, & ↪ & P_{1}^{*} & ↠ & \widetilde{\mathrm{Tr}}( M)\\ ↟ & ↗ & & & & & & & \\ Q^{*} & & & & & & & & \end{bmatrix} $$
以上是证明涉及的对象.