Notes on Reflexive Subcategories

Chencheng Zhang
April 20, 2025

Notes on Reflexive Subcategories

Abstract

本篇笔记将有限表现模范畴 $𝐦𝐨𝐝_R$ 中的结论迁移至将有限表现函子范畴 $𝐦𝐨𝐝_𝒞$, 重要命题包括

有限表现对象的等价定义,
函子范畴的 Lazard 定理 (平坦对象是投射对象的滤过余极限),
有限表现平坦对象是投射对象 (可表函子的直和项),
具有投射盖的平坦对象必投射等. 重点研究了函子范畴中的平坦对象.

使用上述结论, 对具有较好性质的范畴,

余反射子范畴与反变有限范畴等价.

$𝐦𝐨𝐝_{𝒞}$

全文使用

$𝐌𝐨𝐝_k$ 表示 $k$-右模范畴.
$𝐦𝐨𝐝_k$ 有限表现 $k$-右模范畴.

对局部小的 $k$-范畴 $𝒞$, 记

$$ 𝐌𝐨𝐝_𝒞 := 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_k(𝒞^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k) $$

为 $k$-函子范畴. 若无特别强调, 默认 $k$-范畴的函子是 $k$-函子.

($k$-范畴的米田嵌入). 对交换环 $k$, 与 $k$-范畴 $𝒞$, 以下是全忠实的嵌入:

$$ 𝒞 ↣ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_k (𝒞^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k) ,\quad X ↦ h_X\quad (:=(-,X)_{𝒞}). $$

特别地, 以下米田引理的同构是 $k$-模的同构:

$$ 𝖭𝖺𝗍[h_X, F] ≃ F(X),\quad Φ ↦ Φ(\mathrm{id}_X). $$

以上是 $k$-充实版本的的米田引理. 特别地, $k = ℤ$ 对应预加范畴.

(有限表现范畴). 对给定局部小的 $k$-范畴 $𝒞$, 定义有限表现范畴 $𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 为 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞^{\mathrm{op}}, 𝐀𝐛)$ 的全子范畴. 其对象形如 $\mathrm{cok} (h_φ)$, 即,

$$ (-,X) \xrightarrow{(-,φ )} (-,Y) ↠ \mathrm{cok} (h_φ). $$

对加法范畴 $𝒞$ 与具有 $\mathrm{cok}$ 的 $k$-范畴 $𝒜$, 以下是函子范畴的等价

$$ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞 , 𝒜 ) → 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Rex}(𝐦𝐨𝐝_𝒞, 𝒜); $$

$𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Rex}$ 表示右正合函子 (保持余核的函子) 构成的全子范畴;
对左侧的 $f$, 右侧的函子定义作 $\mathrm{cok}(h_φ) ↦ \mathrm{cok}(F(φ))$.
对右侧的 $F$, 左侧函子定义作 $X ↦ F(h_X)$.

(弱核). 称 $X\xrightarrow f Y$ 是 $Y \xrightarrow g Z$ 的弱核, 若以下 $𝐦𝐨𝐝_{𝒞}$ 中的态射链

$$ h_X \xrightarrow{h_f} h_Y \xrightarrow{h_g}h_Z $$

在 $h_Y$ 处正合.

记 $𝒞$ 局部小的有弱核的 $k$-范畴, $𝒜$ 是 Abel $k$-范畴, 以下是函子范畴的等价

$$ \begin{bmatrix} 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_w(𝒞 , 𝒜 ) & ↣ & 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞 , 𝒜 ) \\ ∼↑ & & ↑ ∼ \\ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Ex}(𝐦𝐨𝐝 _𝒞 , 𝒜 ) & ↣ & 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Rex}(𝐦𝐨𝐝 _𝒞 , 𝒜 ) \\ \end{bmatrix} $$

当且仅当 $𝒞$ 存在弱核, $𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 是 Abel 范畴;
$F ∈ 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_w(𝒞 , 𝒜 )$, 当且仅当 $F$ 将一切弱核所在的态射链 $X \xrightarrow f Y \xrightarrow g Z$ 映作 $F(Y)$ 处正合的态射链 $F(X)\xrightarrow {F(f)} F(Y) \xrightarrow {F(g)} F(Z)$;
$𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭_{Ex}$ 表示正合函子 (保持核与余核的函子).

以下说明全子范畴的嵌入 $𝒞 ↣ 𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 决定了某些普适问题的解. 给定局部小的 $k$-范畴 $𝒞$. 依照定理,

一切从 $𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 到 Abel $k$-范畴 $𝒜$ 的右正合函子通过全忠实嵌入 $𝒞 ↣ 𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 唯一分解 (至多相差一个范畴等价);
若 $𝒞$ 有弱核, 一切从 $𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 到 Abel $k$-范畴 $𝒜$ 的正合函子通过全忠实嵌入 $𝒞 ↣ 𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 唯一分解 (至多相差一个范畴等价).

假定 $𝒜$ 是有足够投射对象的 Abel 范畴, $i : 𝒫 ↣ 𝒜$ 是投射对象组成的全子范畴, 则

$$ (i(-),∙)_{𝒫}: 𝒜 → 𝐦𝐨𝐝_𝒫,\quad X ↦ (i(-),X)_𝒫 $$

是范畴等价.

张量积, $𝐦𝐨𝐝_{𝒞}$ 的等价刻画

定义 $k$-范畴的函子范畴 $𝐌𝐨𝐝_𝒞 := 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭 (𝒞^{\mathrm{op}} , 𝐦𝐨𝐝_k)$. 任意 $F ∈ 𝐌𝐨𝐝_k$ 通过顿范畴 $𝒞⇒F$ 中的滤过余极限表出, 且这一构造是函子性的.

今考虑本质小的 $k$-范畴 $𝒞$, 此时 $𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 也是本质小的 $k$-范畴. 定义 $k$-双线性的配对

$$ 𝒞 ⊗ 𝐌𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}} → 𝐌𝐨𝐝_k,\quad X ⊗ F ↦ FX. $$

由于 $F ∈ 𝐌𝐨𝐝_𝒞$ 是可表函子的余极限 (考虑 $∐\limits_{X ∈ 𝖮𝖻(𝒞)}(h_X)^{∐F(X)} ↠ F$), 且这一构造是函子性的.

(张量积) 将张量积的定义延拓至

$$ 𝐌𝐨𝐝_𝒞 ⊗ 𝐌𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}} → 𝐌𝐨𝐝_k,\quad (\varinjlim(-, X)) ⊗ F ↦ \varinjlim FX. $$

(有限表现函子的等价定义, 证明)

选定 $F ∈ 𝐌𝐨𝐝_𝒞$, 以下等价:

(有限表现函子) $F ∈ 𝐦𝐨𝐝_𝒞$;
(紧对象) 对 $𝐌𝐨𝐝_k$ 中的滤过系统 $G_∙$, 典范态射

$$ \varinjlim (F, G_∙)_{𝒞^{\mathrm{op}}} ≃ (F, \varinjlim G_∙)_{𝒞^{\mathrm{op}}} $$

是同构;
$F ⊗ -: 𝐌𝐨𝐝_{𝒞 ^{\mathrm{op}}} → 𝐌𝐨𝐝_k$ 保持任意积.

参考上述命题中 (2 ⇒ 1) 一步的证明, 任意函子是有限表现函子的滤过余极限. 以上也蕴含了模范畴中的类似结论, 例如, $M$ 是有限表现模, 当且仅当 $(M ⊗ -)$ 与 $∏$ 交换.

有限生成投射对象必然是可表函子的直和项. 特别地, 若 $𝒞$ Karoubi (所有幂等态射都有核与余核), 则有限生成投射对象恰好是可表函子.

(平坦对象). 称 $F ∈ 𝐌𝐨𝐝_𝒞$ 是平坦对象, 当且仅当 $F ⊗ -$ 保持 $𝐌𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}$ 中的单自然变换.

依照 $𝐌𝐨𝐝_k$ 范畴的 AB5 条件, 模的滤过余极限与有限极限交换. 因此, 平坦对象只需保持 $𝐦𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}$ 中的单自然变换.

例如, $M$ 是平坦模, 当且仅当 $M ⊗ -$ 保持有限表现模之间的单射.

(有限表现 → 投射通过平坦对象分解, 证明).

假定 $𝒞^{\mathrm{op}}$ 有弱核. 若 $P ∈ 𝐌𝐨𝐝_𝒞$ 是平坦对象, 则一切有限表现函子 $F$ 向 $P$ 的态射通过某一可表函子分解.

(平坦对象是投射对象的滤过余极限, 证明). 给定小的加法范畴 $𝒞$, 假定以下提及的滤过余极限存在.

假定 $𝒞^{\mathrm{op}}$ 有弱核, 则 $P ∈ 𝐌𝐨𝐝_𝒞$ 是平坦对象, 当且仅当 $P$ 是有限表现函子 $\{h_X\}$ 的滤过余极限;
假定 $𝒞$ 有弱核, 则 $P ∈ 𝐌𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}$ 是平坦对象, 当且仅当 $P$ 是有限表现函子 $\{h^X\}$ 的滤过余极限.

(karoubi 范畴). 称加法范畴 Karoubi, 若幂等态射存在核与余核.

(内射余生成元). 对局部小的范畴 $𝒞$. 称 $X ∈ 𝒞$ 是内射余生成元, 若以下两点满足

$f ↦ (f, X)_𝒞$ 将满射对应至单射, 换言之, $(-,X)$ 是正合函子;
$(f,X)_{𝒞} ↦ f$ 良定义, 从而将单射返回至满射, 换言之, $(-,X)$ 是忠实函子.

例如, $𝐌𝐨𝐝_k$ 存在内射余生成元, 通常选作 $(k, C)_{ℤ}$. 其中 $C$ 是 $𝐀𝐛$ 的内射余生成元, 例如 $ℚ/ℤ$ 或 $ℝ/ℤ$.

(有限表现 + 平坦 = 投射, 证明). 给定 Karoubi 的, 本质小的加法范畴 $𝒞$. 若 $F ∈ 𝐦𝐨𝐝_𝒞$ 平坦, 则 $F$ 投射.

(关于 Abel 化: 模范畴的非对称性). 对加法范畴 $𝒞$, 以下两者均是 $𝒞$ 是在 $𝐌𝐨𝐝_{𝒞}$ 中的 Abel 闭包:

$$ 𝐦𝐨𝐝_{𝐦𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}}} = 𝐟𝐩 (𝐦𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}, 𝐌𝐨𝐝_k);\quad 𝐦𝐨𝐝^{\mathrm{op}}_{𝐦𝐨𝐝_{𝒞}^{\mathrm{op}}} = 𝐟𝐩 (𝐦𝐨𝐝_{𝒞}, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}}. $$

取 $𝒞$ 为 $k$-代数 $R$ 的有限生成自由模范畴, 则两处 Abel 闭包的典范同构由自由模所在的可表函子诱导, 即,

$$ \begin{bmatrix} 𝐟𝐩 (𝐦𝐨𝐝_{𝒞}, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}} &→& 𝐟𝐩 (𝐦𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}, 𝐌𝐨𝐝_k) \\ (R_R^n, - )_{𝐦𝐨𝐝_R} & ↦ & ({_R}R^n, -)_{𝐦𝐨𝐝_{R^{\mathrm{}op}}} \end{bmatrix}. $$

对 $M_R = \mathrm{cok}(R^m \xrightarrow f R^n)$, 上述对应延拓至

$$ \begin{bmatrix} 𝐟𝐩(𝐦𝐨𝐝_{R^{\mathrm{op}}} ,𝐌𝐨𝐝_{k}) & M_R ⊗ - & ← & R_{R}^{n} ⊗ - & ← & R_{R}^{m} \otimes -\\ & & & ∥ & & ∥ \\ 𝐟𝐩(𝐦𝐨𝐝_{R^{\mathrm{op}}}^{\mathrm{op}} ,𝐌𝐨𝐝_{k}) & ( M_{R} ,-) & → & \left( R_{R}^{n} ,-\right) & → & \left( R_{R}^{m} ,-\right) \end{bmatrix} $$

同理, 上方的

$$ (_RX, - )_{𝐦𝐨𝐝_{𝒞^{\mathrm{op}}}} $$

对应下方的

$$ - ⊗_RX ∈ 𝐟𝐩(𝐦𝐨𝐝_R^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)^{\mathrm{op}}. $$

这一紧对象间的对应通过滤过余极限给出 Abel 闭包的范畴等价.

注意: 这一非对称性在三角范畴中将不复存在, $𝐦𝐨𝐝_𝒯^{\mathrm{op}}$ 等价于 $𝐦𝐨𝐝_{𝒯^{\mathrm{op}}}$. 本质上, 同调函子与上同调函子是对称的.

三角范畴, 上同调函子

采用记号 $(𝒯, [1], \triangle)$ 表示三角范畴, 平移, 以及好三角类. 使用上链复形 $X^∙$ 表示一个好三角. 对 Abel 范畴 $𝒜$, 称函子 $F:𝒯^{\mathrm{op}} → 𝒜$ 是上同调的, 当且仅当 $F$ 将 $\triangle$ 映作长正合列.

反变的米田嵌入 $𝒯^{\mathrm{op}} → 𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒞, 𝐌𝐨𝐝_k)$ 是上同调函子. 证明

依照定义, 给定三角范畴, 对任意 $X^∙ ∈ \triangle$, $X^n → X^{n+1}$ 的三角核 $X^{n-1} → X^n$ 是弱核. 换言之, 三角核都是弱核. 相应地, 三角余核是弱余核.

应当指出, 存在非三角核形式的弱核. 例如取 $X ≠ 0$, 则 $X → 0$ 是 $0 → 0$ 的弱核. 这说明弱核未必是三角核.

(证明). (上) 同调函子保持弱核.

(证明). $𝐦𝐨𝐝_𝒯$ 是 Frobenius 范畴.

比较自由模范畴的两类 Abel 闭包, 三角范畴的 Abel 闭包显得更对称: 这主要得益于上同调函子的泛性质.

对三角范畴至 Abel 范畴的函子, 上同调函子恰好是保持弱核的函子. 对三角范畴, 上同调函子通过 $𝒯^{\mathrm{op}} ↣ 𝐦𝐨𝐝_{𝒯^{\mathrm{op}}}$ 唯一分解.

对本质小的三角范畴 $𝒯$, 考虑函子范畴 $𝐅𝐮𝐧𝐜𝐭(𝒯^{\mathrm{op}}, 𝐌𝐨𝐝_k)$, 则上同调函子, 正合函子, 可表函子的滤过余极限, 以及平坦函子四者相同.

反变有限

(逼近, 预盖, 反变有限). 给定任意范畴 $𝒞$ 与同构闭的对象类 $𝒳$.

一个 $𝒳$-预覆盖是一个态射 $X_{∈ 𝒳} \xrightarrow f M_{∈ 𝒞}$, 使得 $(𝒳, f)$ 均为满射.
此时, 称 $f$ 是 $M$ 的一个右 $𝒳$-逼近. 等价地, 任意 $X' → M$ 通过 $f$ 分解.
称 $𝒳$ 是反变有限的对象类, 若所有 $M$ 都存在右 $𝒳$-逼近.

若 $𝒞$ 中有足够投射对象, 取 $𝒳 = 𝐏𝐫𝐨𝐣$, 右逼近取作投射对象出发的满射.

(投射盖). 假定 Abel 范畴. 称 $π : P → X$ 是 $X$ 的一个投射盖, 若 $π$ 是满的, 且 $\mathrm{ker}(π)$ 是盈余的. 换言之, 任意形如

$$ \begin{bmatrix} ∗ & ↪ & ∗ \\ ⤵ & & ⤵ \\ \mathrm{ker}(π) & ↪ & P \\ \end{bmatrix} $$

的推出拉回方块一定同构于

$$ \begin{bmatrix} \mathrm{ker}(π) & ↪ & P \\ ∥ & \ & ∥ \\ \mathrm{ker}(π) & ↪ & P \\ \end{bmatrix}. $$

有些地方将投射盖定义作满足 $[(p ∘ α = p) ⟹ (α \ \text{同构})]$ 的满态射 (这一假定似乎更弱一些). 以上定义按照 superfluous 等价转化.

(证明). 若平坦对象具有投射盖, 则其必然是投射对象.

取定同构封闭的全子范畴 $i : 𝒞 ↣ 𝒜$.

称 $𝒞$ 是反射的, 若 $i$ 是右伴随.
称 $𝒞$ 是余反射的, 若 $i$ 是左伴随.

例如, 给定 torsion pair $(𝒯 , ℱ)$, 全子范畴 $ℱ$ 是反射的, $𝒯$ 是余反射的.

(余反射与反变有限, 证明). 取加法范畴 $𝒯$ 与本质小的同构闭全子范畴 $ℬ$.

假定 $ℬ$ Karoubi, $ℬ^{\mathrm{op}}$ 存在弱核, 且 $𝐦𝐨𝐝_{ℬ}$ 存在投射盖 (例如 Krull-Schmidt 三角范畴). 此时 $ℬ$ 余反射, 当且仅当其反变有限.
假定 $ℬ$ Karoubi, 存在弱核. 此时 $ℬ$ 余反射, 当且仅当其反变有限.

(有可数积或可数余积的三角范畴必 Karoubi, 证明). 三角范畴 Karoubi 的一个充分条件: 若三角范畴有可数积或可数余积, 则 Karoubi.