完备化, 滤过复形
$\mathrm{Gr}_∙$ 与完备化
以下命题都是对模范畴 $𝐌𝐨𝐝_R$ 而言的.
(Cauchy 列). 对滤过模 $\cdots ⊃ F^s M ⊃ \cdots$, 取 $M$ 为全空间, 诸 $F^p M$ 的陪集为开集. 称 $(x_n)_{n ∈ ℕ} ∈ ∏_ℕ M$ 是 Cauchy 列, 当且仅当
\begin{equation} ∀ p, \ ∃ N ∈ ℕ, \ ∀ (m,n) (n > m ≥ N), ((x_m - x_n) ∈ F^pM). \end{equation}
简单地说, 此处的拓扑基是的所有 $F^s M$ 的陪集.
对满射系统 (一般理论见导出极限) $\cdots ↠ \frac{M}{F^{p+1} M} ↠ \frac{M}{F^p M} ↠ \cdots$ 做三点定义:
- 称之穷竭, 当且仅当 $\varinjlim \frac{M}{F^p M} = 0$, 即 $M= ⋃ F^p M$;
- 称之 Hausdorff, 当且仅当 $\varprojlim F^p M = ⋂ F^p M = 0$.
- 称之完备, 当且仅当 $\varprojlim \frac{M}{F^p M} = M$.
简单地看,
- 所谓穷竭, 即是说原点处基本开球 $F^pX$ 的覆盖范围 (随 $p →- ∞$) 趋向全空间.
- 所谓 Hausdorff, 就是说开球可以任意小, 使得能区分任意不同的两点.
- 所谓完备, 就是说收敛数列存在极限.
对模范畴中 $ℤ$-指标的塔, 导出极限 $\varprojlim {}^1$ 消失.
(证明) 完备蕴含 Haussdorff. 完备当且仅当 $\varprojlim ^{0,1} F^p M = 0$.
(完备化). 滤过 $F^∙ M$ 的完备化旨在函子地补全 Cauchy 列的收敛终点. 此处定义做 \begin{equation} 𝐅^p 𝐌 = \varprojlim \ \ \frac{F^p M}{F^{≥ p} M}. \end{equation}
将极限视作积对象的子对象, $𝐅^p𝐌$ 确实是滤过. 亦可通过 $\varprojlim$ 的左正合性质说明单射 $𝐅^{p+1}𝐌 ↪ 𝐅^p𝐌$.
(证明). 滤过完备化具有如下重要的性质:
- $\frac{𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{M}{F^p M}$ 是同构, 作为推论, $\frac{𝐅^{p-r} 𝐌}{𝐅 ^p𝐌} ≃ \frac{F^{p-r}M}{F^p M}$.
- $𝐅^p𝐌$ 穷竭当且仅当 $F^p M$ 穷竭.
- $𝐅^p 𝐌$ 是完备的 Hausdorff 的滤过.
(同构的完备化等价于同构的分次态射. 证明). $\mathrm{Gr}(f)$ 是同构当且仅当完备化态射 $𝐟$ 是同构.