Gabriel 主定理 (II)

若 $\overline Q$ 是 Dynkin 图, 则依照对应, $\mathrm{Idem}(kQ)$ 是有限集.
反之, 若 $\overline Q$ 不是 Dynkin 图, 则存在仿射型子图. 具体的判定方法如下.

先判定 $\overline Q$ 是否有环.

1. 若有环, 则 $\overline Q$ 有形如 $\widehat {A_n}$ 的子图.

2. 若无环, 则 $\overline Q$ 是树. 由 $\overline Q$ 不是 Dynkin 的, 故存在三岔点.

   1. 若三岔点数量 $≥ 2$, 则 $\overline Q$ 有形如 $\widehat {D_n}$ 的子图.
   2. 若三岔点数量 $= 1$, 记该点引出的三条道路长度为 $p,q,r$. 该图是有限型的当且仅当 $p^{-1}+q^{-1}+r^{-1} ≥ 1$. 由 $\overline{Q}$ 非有限型, 其必然有子图 $E_6$.

因此存在非零的 $𝐯 ≥ 0$ 使得 $q(𝐯) = 0$. 由关键公式, 对任意 $𝐝𝐢𝐦 \ M = \mathbf v$ 总有

$$ \begin{align} \dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯) & = \dim \ [M] + \dim \mathrm{Ext}^1(M,M) \\[6pt] & = \dim \ [M] + \dim \mathrm{End}(M) - q(𝐯) \\[6pt] & ≥ \dim \ [M] + 1. \end{align} $$

由 Zariski 拓扑, 以 $𝐯$ 为维度向量的不可约表示必然是无穷个.