Gabriel 主定理 (I)

记 $𝐝𝐢𝐦 : \mathbf{Indecomp}(kQ) → Δ _+$.

1. (良定义) 若 $M$ 不可分解, 以下就 $M$ 是否为 brick 进行分类讨论.

   1. 若 $M = B$, 则 $\dim \mathrm{End}(M)$. 依照

      $$ 0 < q(𝐝𝐢𝐦 \ M) = \dim {\mathrm{End}(M)} - \dim \mathrm{Ext}^1(M,M), $$

      此时只能有 $\mathrm{Ext}^1(M,M) = 0$, 以及 $q(𝐝𝐢𝐦 \ M) = 1$.

   2. 若 $M$ 非 brick, 则存在非同构的 $f : M → M$. 此时, 则

      $$ 0 ≠ \operatorname{im} f ∈ 𝐬𝐮𝐛(M) ∩ 𝐪𝐮𝐨𝐭(M). $$

      取 $𝐬𝐮𝐛(M) ∩ 𝐪𝐮𝐨𝐭(M)$ 中维度最小的非零对象 $B$, 显然 $B$ 是 brick.
      若 $B ≇ M$, 则合成 $B ↪ M ↠ B$ 为 $0$, 因此 $B$ 是 $M/B$ 的商对象. 由 $B$ 的极小性, $M/B ↠ B$ 限制在任意直和项上或零或满. 不妨取不可分解直和项 $M_1$ 使得 $M_1 ↠ B$.
      显然 $M_1 ↪ M/B$ 不通过 $M ↠ M/B$ 分解. 这说明以下是不可裂 ses 的交换图

      $$ \begin{bmatrix} B & \rightarrow & E & \twoheadrightarrow & M_{1}\\ \parallel & & ⇣ & & \downarrow \\ B & \hookrightarrow & M & \twoheadrightarrow & M/B \end{bmatrix} $$

      由 $\mathrm{Ext}^1$ 右正合, 得 $\mathrm{Ext}^1(M_1,M_1) ↠ \mathrm{Ext}^1(M_1,B) ≠ 0$.
      重复上述步骤, 得一列不可分解对象的满态射

      $$ M ↠ M_1 ↠ \cdots \quad (\mathrm{Ext}^1(M_k, M_k) ≠ 0) $$

      满态射降至 $0$ 时, 前一项必然是 brick.
      以上构造了 $\mathrm{Ext}^1(-,-) ≠ 0$ 的 brick, 矛盾.

   综上, $𝐝𝐢𝐦$ 的去向确实是 $Δ _+$. 特别地, $\mathbf{Indecomp}(kQ) = \mathrm{Brick}(kQ)$, 且任意 brick 都是 $\mathrm{Ext}^1$-自垂直的.

2. (单射) 由关键公式, 自垂直的 $M$ 满足 $𝐫𝐞𝐩(𝐝𝐢𝐦 \ M) = \dim \ [M]$. 由 $𝐫𝐞𝐩(𝐝𝐢𝐦 \ M)$ 不可约, 极大轨道若存在则必唯一.

3. (满射) 只需证明 $𝐫𝐞𝐩(𝐯)$ 中的最大轨道 $[M]$ 是不可分解的. 若 $M = ⨁_{i ∈ I}M_i$, 由 ses 三项的轨道关系知 $\mathrm{Ext}^1(M_i, M_j) =0$. 此时,

   $$ 1 = q(𝐯) = q\left(∑ _{i ∈ I}𝐝𝐢𝐦 \ M_i\right) = ∑ _{i ∈ I} q(𝐝𝐢𝐦 \ M_i) + ∑ _{i ≠ j} \dim (M_i, M_j). $$

   矛盾.

综上, $𝐝𝐢𝐦$ 确实是双射.