2025-05-09-讨论班

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上期勘误

位置: Gabriel 定理的证明 (1-2.)

证明

$$\begin{equation} 𝐝𝐢𝐦 : 𝐈𝐧𝐝𝐞𝐜𝐨𝐦𝐩 (kQ) → Δ _+ \end{equation}$$

良定义时, 原证明先就 $M$ 为 brick 与否进行讨论. 假定 $M$ 非 brick, 取维数极小的非零 $B ∈ 𝐬𝐮𝐛(M) ∩ 𝐪𝐮𝐨𝐭(M)$…

• (错误步骤). 将 $B ↪ M ↠ B$ 补全作推出拉回方块.
• (勘误修复). 证明 $𝐪𝐮𝐨𝐭(M)$ 中存在非自垂直的 brick, 导出矛盾.

本周内容

正文, 与大纲:

• 遗传代数
  • 遗传代数的等价定义, 例子.
  • (不证明). 代数闭域上遗传代数的 quvier 表示.
  • (重要例子) 计算 kronecker quiver 的 AR quiver.
    • Coxeter reflection v.s. AR translation.
    • A glimpse of postproj, preinj, regular components.
• 预投射分支的结构
  • 遗传代数 (I)
    • 无限 AR quiver, 截面.
    • 整齐的预投射分支.
    • …
  • 有限维代数
    • 好例子: 有限表示的充要条件.
      • 重要定理: 原田-斎长度估计.
    • 怪例子: 预投射/预内射分支可以有多乱.
    • 预投射分支的 Noether 性, 单向性.
    • 预投射模是自垂直的 brick.
  • 遗传代数 (II)
    • 有限表示的充要条件.
    • $τ^±$-等价.

次回預告

Coxeter 反射, 以及 Kronecker quiver 的 AR quiver.

Tilted 代数的预投射分支: 将此例的倾斜现象推广至无限表示遗传代数, 原遗传代数 $kQ$ 与 tilted 代数 $\mathrm{End}(T)$ 的预投射分支, 预内射分支, 以及正规部分有何联系?

关于预投射部分存在性之判准, 留至 Directing 模.