关于轨道的若干结论
证明
(证明) 以下是一些几何的结论.
- 极大轨道满足以下等价定义:
- $\mathrm{Ext}^1(M,M) =0$;
- $[M]$ 是开集;
- $\overline{[M]} = 𝐫𝐞𝐩(𝐝𝐢𝐦 \ M)$.
- 固定 $𝐯$, 极大轨道若存在则必唯一.
- 极大轨道不存在的必要条件: $q(𝐯) ≤ 0$.
- (不证明此条). 极小轨道就是半单表示; 等价地, $[X]$ 是闭集.
-
给定 ses $0 → X → Y → Z → 0$, 该 ses 不可裂当且仅当
$$ [X ⊕ Z] \quad ⊆ \quad \overline {[Y]} ∖ [Y]\quad (\text{视作} \ 𝐫𝐞𝐩(\dim Y) \ \text{中的轨道}). $$
极大轨道满足以下等价定义:
- $\mathrm{Ext}^1(M,M) =0$;
- $[M]$ 是开集;
- $\overline{[M]} = 𝐫𝐞𝐩(𝐝𝐢𝐦 \ M)$.
由关键公式
$$ \dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯) - \dim \ [M] = \dim \mathrm{Ext}^1(M,M) = \dim \mathrm{End}(M) - q(𝐯), $$
$\dim \mathrm{Ext}^1(M,M) = 0$ 当且仅当 $\dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯) = \dim \ [M]$, 即 1 ⟺ 3.
- (1 ⇒ 2). 若 $\mathrm{Ext}^1(M,M) = 0$, 则 $\overline{[M]} = 𝐫𝐞𝐩(𝐯)$. 由于 $[M]$ 是 $\overline{[M]}$ 中的开集, 得 $[M]$ 是 $𝐫𝐞𝐩 (𝐯)$ 中的开集.
- (2 ⇒ 1). 若 $[M]$ 是 $𝐫𝐞𝐩 (𝐯)$ 中的开集, 则必是稠密的. 此时 $\dim \ [M] = \dim 𝐫𝐞𝐩(𝐯 )$, 因此 $\mathrm{Ext}^1(M,M) = 0$.
由不可约空间, 固定 $𝐯$, 极大轨道若存在则必唯一.
极大轨道不存在的必要条件: $q(𝐯) ≤ 0$.
若 $q(𝐯) ≤ 0$, 则对任意非零 $M$ 都有 $\dim 𝐫𝐞𝐩 (𝐯) > \dim [M]$. 特别地, 此时的轨道数量必无穷.
给定 ses $0 → X → Y → Z → 0$, 该 ses 不可裂当且仅当
$$ [X ⊕ Z] \quad ⊆ \quad \overline {[Y]} ∖ [Y]\quad (\text{视作} \ 𝐫𝐞𝐩(\dim Y) \ \text{中的轨道}). $$
若 $0 → L \xrightarrow f M \xrightarrow g N → 0$ 可裂, 则 $[L ⊕ N] ⊈ \overline{[M]} ∖ [M]$. 下证明反向, 假定 ses 不可裂.
模的分量由 $Q_0 ∪ Q_1$ 中分量决定的. 对任意 $λ ∈ (Q_0 ∪ Q_1)$, 存在同时分块上三角化
$$ 0 → \begin{pmatrix} L_λ & O \end{pmatrix}\xrightarrow{\binom{f_λ }{0}} \begin{pmatrix} M^1_λ & M^2_λ \\ O & M^4 _λ \end{pmatrix}\xrightarrow{(0 \ \ g_λ )} \begin{pmatrix} O \\ N_λ \end{pmatrix} → 0. $$
此处使用了子表示与商表示的矩阵表述, 也可理解做不变子空间与商空间.
取 $G$ 中元素为
$$ g_t := \begin{pmatrix} t ⋅ \mathrm{id}_{L_i} & O \\ O & \mathrm{id}_{N_i} \end{pmatrix}, $$
考虑 $M$ 在单参数子群 $g_t$ 共轭作用下的轨道 $[M]_t$. 由 $k ∖ \{0\}$ 在 $k$ 中稠密, 得
$$
[M]_0 ∈ \overline{\{[M]_t ∣ t ≠ 0\}}.
$$
最后说明 $L ⊕ N ≇ M$.
即便以上 ses 不可列, 但本命题需要证明 $L ⊕ N ≇ M$.
若 $L ⊕ N ≅ M$, 考虑长正合列
$$ 0 → (M,L) → (N,L) → (L,L) → \mathrm{Ext}^1(M,L) \overset δ → \cdots. $$
带入 $L ⊕ N ≅ M$, 并比较维数, 得
$$ \operatorname{im} \left(\mathrm{Hom}(L, L) \overset δ → \mathrm{Ext}^1(N, L)\right) = 0. $$
由上述不可裂 ses 正合列是 $δ (\mathrm{id}_L)$, 得矛盾.