特殊的同伦推出拉回
证明
给定三角范畴.
(同伦推出拉回的特例). 若 $⋆$ 处 $2 × 2$ 规格的交换方块补全作两行两列的好三角
当且仅当存在好三角
$$\begin{equation} X\xrightarrow{\binom{a_1}{b_1}} Y_2⊕ Y_1\xrightarrow{(b_2,-a_2)} Z\xrightarrow h X[1]. \end{equation}$$
考虑其同伦背景, 有时将第二项记作 $Y_2∨ Y_1$. 将满足以上条件的方块 $⋆$ 称作同伦的推出拉回.
一方面, 若有上述同伦的推出拉回, 下验证基变换的交换图:
以上实线处均为好三角 (右下方块的复号由好三角的顺时针旋转得到), 不难验证所有方块交换 ($h$ 通过交换方块定义), 从而虚线处是好三角.
$h$ 既是 $Z \overset ∙ → P[1] \overset {- ∙ [1]}→ X[1]$, 也是 $Z \overset ∙ → Q[1] \overset {- ∙ [1]}→ X[1]$. 请注意符号.